Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.3. Konvergenzkriterien 235
b. Die geometrische Reihe
konvergiert gegen 3 2 .
G( 1 3 ) = ∞ ∑
n=0
1
3 n = 1
1− 1 3
= 3 2
c. Die geometrische Reihe
ist bestimmt divergent gegen +∞.
d. Die geometrische Reihe
ist bestimmt divergent gegen +∞.
G(1) =
G(2) =
∞∑
n=0
∞∑
n=0
1 n
2 n
e. Die geometrische Reihe
G(− 1 2 ) = ∞ ∑
n=0
( )
−
1 n 1
2 =
1+ 1 2
= 2 3 .
konvergiert gegen 2 3 .
12.3 Konvergenzkriterien
Im Folgenden geben wir so genannte Konvergenzkriterien an, die es uns in den meisten
Fällen erlauben werden, zu entscheiden, ob eine gegebene Reihe konvergiert oder divergiert.
Satz 12.3.1. Falls eine unendliche Reihe ∑ ∞
n=1 u n konvergiert, dann gilt notwendigerweise
lim u n = 0,
n→∞
d.h., die einzelnen Summanden bilden eine Nullfolge.
Beispiel 12.3.1. Die geometrische Reihe
G( 1 2 ) = ∞ ∑
n=0
konvergiert gegen 2. Also folgt lim n→∞
1
2 n = 0.
1
2 n = 1
1− 1 2
Die Umkehrung davon ist aber falsch, d.h., aus lim n→∞ u n = 0 kann nicht auf die Konvergenz
geschlossen werden.
= 2.
Beispiel 12.3.2 (Harmonische Reihe). Die harmonische Reihe
H =
∞∑
n=1
1
erfüllt lim n→∞ n
= 0 , ist aber nicht konvergent.
1
n = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +···+ 1 n +···