Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur Reihenentwicklung 265
versuchen, erhielten wir
x 2 −1 = a 0 x+a 1 x 2 +a 2 x 3 +a 3 x 4 +···
undwirmüssenfeststellen, dassderKoeffizientenvergleich fehlschlägt, darechts derSummand
mit x 0 fehlt. Also versuchen wir einen besseren Ansatz mit einer einfachen Polstelle bei x = 0
x 2 −1
x
= a −1
x +a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +···
Eine solche Potenzreihe mit gebrochenrationalen Gliedern wird Laurentreihe genannt. Nun
multiplizieren wir wieder aus und erhalten
x 2 −1 = a −1 +a 0 x+a 1 x 2 +a 2 x 3 +a 3 x 4 +··· .
Diesmal glücktderKoeffizientenvergleich undwirerhaltendieKoeffizientena −1 = −1,a 0 = 0,
a 1 = 1 und a n = 0 für alle n ≥ 2. Damit folgt
Die Reihe bricht ab.
x 2 −1
x
= − 1 x +x.
Aufgaben
In den folgenden Aufgaben sollten Sie jeweils mit der am besten geeigneten Methode Reihen
entwickeln.
Aufgabe 12.12.1. Entwickeln Sie die ersten 5 Glieder der Funktion
f(x) = x2 −x+1
x(x−1)
in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0.
Aufgabe 12.12.2. Entwickeln Sie die ersten 3 Glieder der Funktion
f(x) = 1
sin(x)
in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0.
Aufgabe 12.12.3. Entwickeln Sie die ersten 3 Glieder der Funktion
f(x) =
in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0.
1
cos(x)−1
Aufgabe 12.12.4. Entwickeln Sie die ersten 3 Glieder der Funktion
f(x) = cot(x)
in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a = 0.