Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

168 Kapitel 8. Umkehrfunktionen
3. Es sei
f(x) = arctan(x) mit X f = R und Y f =]− π 2 , π 2 [.
Die Gleichung x = tan(y) implizit nach x differenziert ergibt (1+tan 2 (y))y ′ = 1. Nun
lösen wir nach
y ′ 1
=
1+tan 2 (y)
auf. Damit erhalten wir die Ableitung
4. Es sei
d
dx arctan(x) = 1
1+x 2.
f(x) = arccot(x) mit X f = R und Y f =]0,π[.
Dann folgt analog wie beim Tangens die Ableitung
d
dx arccot(x) = − 1
1+x 2.
Mit den Ableitungen der Arkusfunktionenhabenwir zwei wichtige zusätzliche Grundintegrale
erhalten.
1. ∫
dx
√
1−x 2 = arcsin(x)+C
2. ∫
Dabei ist C ∈ R eine Integrationskonstante.
dx
1+x 2 = arctan(x)+C
Beispiel 8.2.1. Gesucht ist die Masszahl der Fläche zwischen 0 und 1 unter der Kurve
y = 1
1+x 2 . Wir berechnen das bestimmte Integral
∫ 1
0
∣
dx ∣∣∣
1
1+x 2 = arctan(x)
Beispiel 8.2.2. Wir berechnen das bestimmte Integral
Aufgaben
∫ 3
4
1
2
∣3
dx ∣∣∣∣ 4
√ = arcsin(x) 1−x 2
0
1
2
= arctan(1)−arctan(0) = π 4 .
= arcsin( 3 4 )−arcsin(1 2 ) ≈ 0.324.
Aufgabe 8.2.1. Bestimmen Sie die folgenden Funktionswerte
a. arcsin( √ 1
2
)
d. arccot(1)
b. arccos(0.6)
c. arctan( √ 3)
e. arccos(−0.5)
f. tan(arccot(2))