Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.7. Ableitung der trigonometrischen Funktionen 73
4.7 Ableitung der trigonometrischen Funktionen
Das Ziel dieses Kapitels ist es, die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus,
Tangens und Kotangens zu bilden.
• Wir beginnen mit der Funktion f(x) = sin(x). Im Differenzenquotienten
∆y
∆x = sin(x+∆x)−sin(x)
∆x
können wir nicht einfach ∆x = 0 einsetzen, da wir sonst den unbestimmten Ausdruck
0
0
erhalten würden. Stattdessen schreiben wir den Zähler mit Hilfe des Additionstheoremes
4 für den Sinus wie folgt um:
Somit gilt
∆y
∆x = sin(x)cos(∆x)+cos(x)sin(∆x)−sin(x) .
∆x
f ′ sin(x)cos(∆x)+cos(x)sin(∆x)−sin(x)
(x) = lim
∆x→0 ∆x
cos(∆x)−1
= sin(x) lim
∆x→0
= sin(x) lim
∆x→0
∆x
cos(∆x)−1
∆x
+cos(x) lim
∆x→0
+cos(x)·1,
sin(∆x)
∆x
wobei die letzte Gleichheit aus dem Ergebnis des Beispieles 3.3.4 folgt. Der verbleibende
Grenzwert berechnen wir jetzt allein:
cos(∆x)−1 cos(∆x)−1
lim = lim · cos(∆x)+1
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x cos(∆x)+1 = lim
sin(∆x)
= lim lim
∆x→0 ∆x ∆x→0
Damit haben wir bewiesen, dass f ′ (x) = cos(x).
∆x→0
−sin(∆x) (−0)
= 1· = 0.
cos(∆x)+1 2
−sin 2 (∆x)
(∆x)(cos(∆x)+1)
• Ähnlich lässt sich die Ableitung von g(x) = cos(x) mit Hilfe des Additionstheoremes 5
für den Kosinus herleiten:
g ′ cos(x)cos(∆x)−sin(x)sin(∆x)−cos(x)
(x) = lim
∆x→0 ∆x
cos(∆x)−1
= cos(x) lim
∆x→0 ∆x
= cos(x)·0−sin(x)·1 = −sin(x).
−sin(x) lim
∆x→0
sin(∆x)
∆x
• Für die Ableitung von Tangens und Kotangens können wir jetzt die Quotientenregel
anwenden:
( ) sin(x) ′
(tan(x)) ′ = = cos2 (x)+sin 2 (x) 1
cos(x) cos 2 =
(x) cos 2 (x) = 1+tan2 (x)
4 sin(α±β) = sin(α)cos(β)±cos(α)sin(β)
5 cos(α±β) = cos(α)cos(β)∓sin(α)sin(β)