Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

162 Kapitel 8. Umkehrfunktionen
oder
f −1 (x) = − 2n√ x wenn X f =]−∞,0].
c. Potenzfunktion mit ungeradem Exponeneten
f(x) = x 2n−1
wobei n ∈ N und X f = Y f = R. In diesem Fall ergibt sich
f −1 (x) =
{ −
2n−1 √ −x wenn x < 0
2n−1 √ x wenn x ≥ 0
mit
X f = Y f −1 = R und Y f = X f −1 = R.
Wegen der Wurzel ist der Bereich der negativen x separat zu betrachten
d. Hyperbelfunktion
f(x) = 1 x
mit x ∈ X f = R−{0}.
Dann folgt Y f = R−{0} und
f −1 (x) = 1 x
mit X f −1 = Y f −1 = R−{0}. Wir stellen fest, dass f = f −1 .
y
y = f(x)
y = x
y = f −1 (x)
x
e. Logarithmusfunktion
f(x) = log a (x) wobei x ∈ X f =]0,∞[.
Aus der Definition der Logarithmusfunktion folgt die Gleichung x = a log a (x) = a y mit
Y f = R, also ergibt sich
f −1 (x) = a x mit x ∈ X f −1 = R.
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und umgekehrt.