Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

100 Kapitel 4. Differenzialrechnung
y
y = f(x)
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x 0
x
Abbildung 4.15.i: Graf einer Funktion f mit einer Unstetigkeitsstelle bei x = x 0 . In diesem
Punkt ist f nicht differenzierbar, und der Graf besitzt dort keine Tangente.
Steigung unterscheiden:
Linksseitige Steigung
f(x)−f(x−∆x)
lim
∆x↓0 ∆x
Rechtsseitige Steigung
f(x+∆x)−f(x)
lim
∆x↓0 ∆x
Hingegen istjededifferenzierbareFunktionauchstetig. IntuitivhatderGrafeinerdifferenzierbaren
Funktion auf den Zusammenhangskomponenten ihres Definitionsbereichs keine Knicke
und keine senkrechten Tangenten.
y
y = f(x)
x 0
x
Abbildung 4.15.ii: Graf einer Funktion f mit einem Knick bei x = x 0 . In diesem Punkt
ist f nicht differenzierbar. Die linksseitige Tangente hat nicht die gleiche Steigung wie die
rechtsseitige.
Beispiel 4.15.1. Die Wurzelfunktion f(x) = √ x ist für alle x ∈ ]0,∞[ ⊂ [0,∞[ = X
differenzierbar. Aber bei x = 0 ∈ X ist
√ √
f(x+∆x)−f(x) 0+∆x− 0
lim = lim = +∞.
∆x↓0 ∆x ∆x↓0 ∆x
Die Steigung der Tangente bei x = 0 wäre unendlich, also ist f(x) = √ x bei x = 0 nicht
differenzierbar.
Beispiel 4.15.2. Die Betragsfunktion
f(x) = |x| =
{ −x wenn x < 0
x wenn x ≥ 0