Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

A.6. Aus der Stochastik 437
berechnen.
Geometrisch handelt es sich um die Berechnung der Masszahl der Fläche unter der Kurve
y = f(x) über dem Intervall [0,a] (siehe Abbildung A.6.i). Wir bestimmen eine Anzahl N
y
b
P i (x i , y i )
•
Q
A
y = f(x)
a
x
Abbildung A.6.i: Masszahl der Fläche unter der Kurve y = f(x) über dem Intervall [0,a]
zufälliger Punkte P 1 (x 1 ,y 1 ),...,P N (x N ,y N ) im Rechteck Q = [0,a]×[0,b].
Das geschieht mit Hilfe von Zufallszahlen, die wir auf jedem Rechner zur Verfügung haben.
Wir wählen eine erste Zufallszahl x 1 im Intervall [0,a] und eine zweite Zufallszahl y 1 in [0,b].
Dies ergibt uns einen ersten zufälligen Punkt P 1 (x 1 ,y 1 ) im Rechteck Q. Dieses Prozedere
führen wir nun N mal durch. Dann haben wir N zufällige Punkte P 1 (x 1 ,y 1 ),...,P N (x N ,y N )
bestimmt, die zufällig verteilt im Rechteck Q liegen. Einige Punkte werden nun oberhalb der
Kurve y = f(x) und andere unterhalb dieser liegen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in der Fläche mit der gesuchten Masszahl liegt, ist
p =
A
area(Q) .
Bestimmen wir N zufällige Punkte, ist die relative Häufigkeit
h = n N
der n Punkte, die in der zu berechnenden Fläche liegen, zur gesamten Zahl N eine gute
Schätzung für p. Daraus lässt sich A näherungsweise berechnen
A = p·area(Q) ≈ n N area(Q).
Wir haben somit nur rechnerisch zu bestimmen, ob ein Punkt P i (x i ,y i ) eine Ordinate
y i < f(x i )
hat. Trifft dies zu, muss ein Zähler um eins erhöht werden. Sind alle N Punkte getestet, dann
ergibt sich das gesuchte Verhältnis n N .
Nach dieser Methode lassen sich auch mehrfache Integrale näherungsweise berechnen.
Monte-Carlo-Methoden sind im Allgemeinen sehr einfach durchzuführen. Allerdings ist ihre
Genauigkeit für kleine Versuchszahlen N gering. Die Genauigkeit in diesem Beispiel erhöht
sich proportional zu √ N. Das heisst, um eine Dezimalstelle zu gewinnen, braucht es 100 mal
mehr Versuche.