Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

8.2. Arkusfunktionen (Zyklometrische Funktionen) 171
Lösungen
Lösung 8.2.1.
a.
π
4
b. 0.927 (mit Taschenrechner)
c.
π
3
d.
π
4
e.
2
3 π
f.
1
2
Lösung 8.2.2. a. Benutzen Sie die Identität cos 2 (y)+sin 2 (y) = 1.
b. Benutzen Sie die Identität cos 2 (y)+sin 2 (y) = 1.
c. Benutzen Sie die Identität tan(y) = 1
cot(y) .
d. Benutzen Sie die Identität tan(y) = 1
cot(y) .
Lösung 8.2.3.
a. f ′ (x) = − 1 √
1−x 2
b. f ′ (x) = − 1
1+x 2
Lösung 8.2.4. f ′ (ξ) = 2ξarctan(ξ)+1
Lösung 8.2.5. f ′ (x) = arcsin(4x)+
4x √
1−16x 2
Lösung 8.2.6. f ′ (x) = arccot( x 4x
4
)−
16+x 2
Lösung 8.2.7. f ′ (u) = 0
Lösung 8.2.8. f ′ (z) = −√ 1
1−z
sgn(z) (Studieren Sie den Grafen y = f(z).) Es ist sgn die
2
Vorzeichenfunktion, vgl. Beispiel 3.4.3.)
Lösung 8.2.9. f ′ (x) = 1
1+x 2
Lösung 8.2.10. f ′ (ω) = − 1 √
1−ω 2
Lösung 8.2.11. f ′ (x) = arctan(x) (als Integral merken)
Lösung 8.2.12. Wir müssen zwei Fälle unterscheiden
⎧
⎪⎨
f ′ (x) =
⎪⎩
Lösung 8.2.13. f ′ (x) = arcsin( x a )
Lösung 8.2.14. Die Konstante beträgt arctan(a).
x √
6x−x 2
wenn x < 3
−6+x √
6x−x 2
wenn x > 3
Lösung 8.2.15. Die beiden Funktionen sind gleich.
Lösung 8.2.16. Das Integral ist f(y) = π 5π
2y +arcsin(y)−
12 .