Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

11.3. Integration rationaler Funktion - Partialbruchzerlegung 221
Lösungen
Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Integrationskonstante.
Lösung 11.3.1. F(x) = 2 3 ln(|x−2|)− 5 3 ln(|x+1|)+C
Lösung 11.3.2. F(w) = 8 23
15
ln(|w −2|)+
10 ln(|w +3|)− 5 6
ln(|w +1|)+C
Lösung 11.3.3. I = 1.59035
Lösung 11.3.4. F(x) = 2x− 9 8 ln(|x−1|)+ 1 4 ln(|x+1|)+4ln(|x−2|)− 9 8 ln(|x+3|)+C
2. Nennerpolynome mit mehrfachen reellen Nullstellen
Der Unterschied gegenüber der ersten Variante soll an einem Beispiel gezeigt werden.
Beispiel 11.3.5. Gegeben sei die rationale Funktion r(x) = x+2
(x−1) 2 . Dann versuchen wir eine
Zerlegung mit dem Ansatz
r(x) = x+2
(x−1) 2 = A
x−1 + B
x−1 = A+B
x−1 = C
x−1 .
Dieser Ansatz geht offenbar nicht. Also machen wir einen neuen Ansatz, so dass der Nenner
quadratisch bleibt
r(x) = x+2
(x−1) 2 =
A
(x−1) 2 + B
x−1 = A+B(x−1)
(x−1) 2 ,
wobei die reellen Koeffizienten A und B gesucht sind. Der erste Summand stellt nun einen
Partialbruch zweiter Art dar. Durch Ausmultiplizieren erhalten wir die Gleichung
x+2 = A+B(x−1).
Diese Gleichung muss für alle x-Werte gelten, also insbesondere für die Nullstelle des Nenners
und für x 2 = 0.
1. Nennernullstelle x 1 = 1 ergibt 3 = A also A = 3
2. x 2 = 0 ergibt 2 = A−B also B = 1
Somit lautet die Partialbruchzerlegung
r(x) = x+2
(x−1) 2 = 3
(x−1) 2 + 1
x−1 .
Beispiel 11.3.6. Wir versuchen den folgenden Ansatz für eine Partialbruchzerlegung für die
folgende rationale Funktion
r(x) = x2 +2x−1
(x+1) 2 (x+2) 2 =
A
(x+1) 2 + B
x+1 + C
(x+2) 2 + D
x+2 ,
wobei die reellen Koeffizienten A,B,C und D gesucht sind. Durch Ausmultiplizieren erhalten
wir die Gleichung
x 2 +2x−1 = A(x+2) 2 +B(x+1)(x+2) 2 +C(x+1) 2 +D(x+1) 2 (x+2).