Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 19
Mehrfache Integrale
Zur Berechnung von Volumina, Schwerpunkten und Trägheitsmomenten eines Massekörpers
bedienen wir uns des so genannten Mehrfachintegrals.
Das Trägheitsmoment einer punktförmigen Masse, die im Abstand δ um eine Achse l dreht,
ist bekanntlich I l = δ 2 m.
Sind wir nun vor die Aufgabe gestellt, das Trägheitsmoment eines ausgedehnten Körpers
zu berechnen, so zerstückeln wir den Körper in kleine Quader mit Seitenlängen ∆x, ∆y
und ∆z und berechnen die Masse dieser Volumenstücklein ∆m = ρ∆x∆y∆z, wobei ρ die
Dichte dieses Volumenstückleins darstellt. Das Trägheitsmoment des ganzen Körpers ist nun
ungefährdieSummeallerdieserTeilträgheitsmomente I l ≈ ∑ δ 2 ∆m,wobeiδ denAbstanddes
Volumenstückleins zur Drehachse l bedeutet. Nach einem Grenzübergang ∆m → 0 erhalten
wir die Formel für das Trägheitsmoment eines Körpers
∫
I l = δ 2 dm
V
bei Rotation um die Achse l. Es handelt sich dabei um ein so genanntes Mehrfachintegral.
In einem ersten Schritt wenden wir uns nun Flächen- und Volumenberechnungen zu.
19.1 Flächenberechnungen in kartesischen Koordinaten
Das Integral
∫ b
a
f(x)dx
wurde als Grenzwert einer Summe von Masszahlen von Rechtecksflächen entwickelt, die bei
zunehmender Anzahl einen immer gegen null gehenden Betrag besitzen. Wir erhalten die
Masszahl der Fläche F unter einer Kurve, falls die Kurve oberhalb der x-Achse verläuft,
sonst die Differenz der Masszahlen von positiver Fläche und negativer Fläche. Es sei
a = x 0 < x 1 < x 2 < ··· < x i−1 < x i < ··· < x n = b
eine Unterteilung des Intervalls [a,b] in n Teilintervalle der Länge ∆x i = x i − x i−1 und
ξ i ∈ [x i−1 ,x i ] ein beliebiger Wert im i-ten Intervall. Dann gilt die Approximation
F =
∫ b
a
f(x)dx ≈
n∑
f(ξ i )∆x i ,
i=1
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