Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

22.3. Die freie Schwingung 407
R
R sin(ϕ)
s
Re −ρt
−Re −ρt
t
−R
T = 2π ω
Abbildung 22.3.iii: Dämpfungsgrad 0 < D < 1. Die einhüllenden Kurven sind s + (t) = Re −ρt
und s − (t) = −Re −ρt .
Wir sagen, s h sei gedämpft periodisch. Analog wie im 1. Fall der ungedämpften Schwingung
folgt
T = 2π ω
für die Periode der ungedämpften Schwingung und t = − ϕ ω
für die Verschiebung
der Kurve. Dort wo |sin(ωt + ϕ)| = 1 fallen s h und s + , resp. s − zusammen. Diese
Berührungspunkte sind aber nicht die Extremwerte der Amplitude, wenn D > 0.
3. Aperiodischer Grenzfall, wenn D = 1: In diesem Fall gilt ρ = ω 0 , und die charakteristische
Gleichung hat eine doppelte reelle Nullstelle k 1,2 = −ρ. Die allgemeine Lösung
der Differenzialgleichung lautet dann
s h (t) = (C 1 t+C 2 )e −ρt .
Die reellen Konstanten C 1 und C 2 sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen.
In diesem Fall ist die Dämpfung gerade so stark, dass es gerade nicht mehr zu einer
Schwingung kommt. Auch hier gilt
lim s h(t) = 0.
t→∞
4. Aperiodische Bewegung, wenn D > 1: In diesem Fall gilt ρ > ω 0 , also herrscht eine
starke Dämpfung des Systems. Die charakteristische Gleichung hat zwei verschiedene
reelle Nullstellen
k 1,2 = −ρ±ω 0
√D 2 −1 = −ρ±w
√
mit w = ω 0 D 2 −1 = √ ρ 2 −ω0 2 . Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
lautet dann
s h (t) = e −ρt( C 1 e wt +C 2 e −wt) .
Die reellen Konstanten C 1 und C 2 sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen. In
diesem Fall ist die Dämpfung so stark, dass es gar nicht zu einer Schwingung kommt.
Da ρ > w folgt auch in diesem Fall
lim s h(t) = 0.
t→∞