Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

368 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
2. Zum Auffinden der Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung machen wir eine Variation
der Konstanten. Unser Ansatz lautet
welchen wir nun differenzieren
y(x) = C(x)e −x ,
y ′ (x) = C ′ (x)e −x −C(x)e −x
und in die inhomogene Differenzialgleichung einsetzen
y ′ (x)+y(x) = C ′ (x)e −x −C(x)e −x +C(x)e −x = x.
Es bleibt uns also die Gleichung C ′ (x) = xe x , die durch partielle Integration zu lösen
ist (vgl. Beispiel 11.2.1). Wir setzen u = x und v ′ = e x also u ′ = 1 und v = e x . Dann
folgt ∫ ∫
C(x) = xe x dx = xe x − e x dx = xe x −e x +D.
Damit erhalten wir die allgemeine Lösung
y(x) = (xe x −e x +D)e −x = x−1+De −x
als Summe der Lösung der homogenen Differenzialgleichung y h (x) = De −x und einer partikulären
Lösung y p (x) = x − 1. Die Konstante D ∈ R kann jetzt noch mit einer eventuell
vorhandenen Anfangsbedingung bestimmt werden.
Aufgaben
Aufgabe 21.9.1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ +2y = e 3x .
Aufgabe 21.9.2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ −2xy +e x2 = 0.
Aufgabe 21.9.3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ −ytan(x)+sin(x) = 0.
Aufgabe 21.9.4. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y ′ =
y
sin(x)cos(x) − sin2 (x)
cos(x) .
Aufgabe 21.9.5. Bestimmen Sie die partikuläre Lösung von y ′ +3xy −2e −3x2 2 −4x = 0 zur
Anfangsbedingung y(2) = 40.
Aufgabe 21.9.6. Bestimmen Sie die partikuläre Lösung von xy ′ + 2y = 3x 2 − 2x + 4 zur
Anfangsbedingung y(1) = 1 12 .
Aufgabe 21.9.7. Bestimmen Sie die partikuläre Lösung von y ′ +y+e x = 0 zur Anfangsbedingung
y(1) = 0.
Aufgabe 21.9.8. Esseien a,b undcbeliebigereelle Parameter. Bestimmen Siedieallgemeine
Lösung von y ′ +ay = ce bx
a. wenn a+b ≠ 0,
b. wenn a+b = 0.