Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 9
Hyperbelfunktionen und ihre
Umkehrfunktionen
9.1 Hyperbelfunktionen
Die Hyperbelfunktionen bilden eine Gruppe von vier Funktionen, wie die trigonometrischen
Funktionen. Sie sind mit diesen eng verwandt, d.h., sie hängen mit den trigonometrischen
Funktionen direkt zusammen, wenn die komplexen Zahlen zugrunde gelegt werden.
Üblicherweise werden sie als Linearkombinationen von Exponentialfunktionen eingeführt. Sie
besitzen Additionstheoreme wie dietrigonometrischen Funktionen. Siespielen in derhyperbolischen
Geometrie die gleiche Rolle wie die trigonometrischen Funktionen in der sphärischen
(elliptischen) und Euklidschen Geometrie.
1. Sinus hyperbolikus: Der Sinus hyperbolikus, auch Hyperbelsinus genannt, ist durch
f(x) = sinh(x) = ex −e −x
,
2
definiert 1 . Es gilt X sinh = R und Y sinh = R. Der Sinus hyperbolikus ist eine ungerade
Funktion, da für alle x ∈ R
gilt.
sinh(−x) = e−x −e x
2
= −sinh(x)
2. Kosinus hyperbolikus: Der Kosinus hyperbolikus, auch Hyperbelcosinus genannt, ist
durch
f(x) = cosh(x) = ex +e −x
,
2
definiert 2 . Es gilt X cosh = R und Y cosh = [1,∞[. Der Kosinus hyperbolikus ist eine
gerade Funktion, da für alle x ∈ R
cosh(−x) = e−x +e x
= cosh(x)
2
gilt. Der Kosinus hyperbolikus heisst auch Kettenlinienfunktion, da sein Graf die
Form einer durchhängenden Kette hat.
1 Es wird auch die Akürzung sh verwendet.
2 Es wird auch die Akürzung ch verwendet.
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