Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

352 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
21.2 Die geometrische Bedeutung einer Differenzialgleichung
erster Ordnung
Es sei eine Differenzialgleichung erster Ordnung F(x,y,y ′ ) = 0 gegeben. Sie definiert ein
Richtungsfeld, falls sie eindeutig nach y ′ auflösbar ist, d.h. y ′ = f(x,y). Indem in jedem
Punkt P(x,y) die Richtung y ′ durch ein kurzes Tangentenstück dargestellt wird, ergibt sich
ein Gesamtbild der Steigungen, ein Richtungsfeld. Setzen wir y ′ = c für verschiedene c ∈ R,
so erhalten wir die so genannten Isoklinen, das sind Kurven gleicher Steigung der Linienelemente.
Das Auflösen, respektive Erraten der Lösung einer Differenzialgleichung erster
Ordnung mit Hilfe der Isoklinen heisst Isoklinenmethode. Jede Kurve, die auf das Richtungsfeld
passt, ist eine Lösung der Differenzialgleichung oder ein Integral, denn sie erfüllt
die Differenzialgleichung nach Konstruktion.
Beispiel 21.2.1. Wir betrachten die Differenzialgleichung erster Ordnung y ′ +y = 0. Nach
y ′ aufgelöst, ergibt sich y ′ = −y. Damit erhalten wir das durch die Steigung y ′ (x,y) = −y am
Punkt P(x,y) definierte Richtungsfeld (vgl. Abbildung 21.2.i).
y
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Abbildung 21.2.i: Richtungsfeld y ′ (x,y) = −y der Differenzialgleichung y ′ +y = 0 mit einer
Lösungskurve.
Setzen wiry ′ = cfüreineKonstante c ∈ R, dannfolgt y = −c. Somit entsprechendieIsoklinen
den horizontalen Geraden. Mit Hilfe der Isoklinenmethode können wir vermuten, dass eine
Lösung durch
y(x) = Ce −x
gegeben ist, wobei C ∈ R ein beliebiger Parameter ist.
Wir erhalten eine so genannte 1-parametrige Kurvenschar. Wird ein spezieller Parameter
C ∈ R gewählt, dann wird von einer partikulären Lösung gesprochen.
Im Allgemeinen besitzt eine allgemeine Lösung einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung
genau n beliebige Konstanten, so genannte Freiheitsgrade. Jede Lösung mit weniger als n
beliebigen Konstanten heisst partikuläre Lösung. Eine solche wird häufig mit einem Index
y p versehen.
Beispiel 21.2.2. Wir betrachten nun die Differenzialgleichung xy ′ = y. Nach y ′ aufgelöst,
ergibt sich y ′ = y x . Damit erhalten wir das durch die Steigung y′ (x,y) = x y
am Punkt P(x,y)