Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

11.2. Partielle Integration 209
b.
3
2 arcsin(4+y
√
3
)+ 4+y
2
c. ϕ √ a 2 −ϕ 2 +C
d.
x
2
√
3−(4+y) 2 +C
√
a 2 −b 2 x 2 − a2
2b arccos(bx a )+C 1 = x 2
Lösung 11.1.38. − π 4
√
a 2 −b 2 x 2 + a2
2b arcsin(bx a )+C 2
Lösung 11.1.39. Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Integrationskonstante.
a.
z
2√
4+z 2 +2arsinh( z 2 )+C
b.
1
3 (ϕ2 −2) √ 1+ϕ 2 +C
c.
1
3 (x2 +x+23) √ x 2 +4x+29−25arsinh( x+2
5 )+C
d.
1
3 ln(|3x+1+√ 9x 2 +6x+5|)+C
u
e. 2√
u 2 −1− 1 2 arcosh(u)+C
f.
√
y 2 −1
3y 3
(2y 2 +1)+C
g. − α
4 √ α 2 −4 +C
Lösung 11.1.40. 37.70
Lösung 11.1.41. 33.64
Lösung 11.1.42. area = 2πa2 b
e
arcsin( e a )+2πb2 wobei e 2 = a 2 −b 2 .
Lösung 11.1.43. √ c √ a+4c+ a 2 arsinh(2√ ac
a )
11.2 Partielle Integration
Viele Integraltypen können mit der Substitutionsmethode berechnet werden. Ein Integral wie
das Folgende aber nicht. ∫
xe x dx
Für solche Integrale bietet sich die partielle Integration an. Die partielle Integration hängt
eng mit der Produktregel der Differenzialrechnung zusammen. Es seien u und v stetig differenzierbare
Funktionen. Nach der Produktregel der Differenzialrechnung gilt
(uv) ′ = u ′ v +uv ′ .
Diese Gleichung ist nun beidseitig zu integrieren
∫ ∫ ∫
(uv) ′ dx = u ′ vdx+
uv ′ dx.
Wir erhalten somit mit C ∈ R einer Integrationskonstanten
∫ ∫
uv +C = u ′ vdx+ uv ′ dx.