Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

14.1. Das vollständige Differenzial einer impliziten Funktion 289
Mit dem nachfolgenden Beispiel wollen wir aufzeigen, dass im Falle von Funktionen das Differenzieren
impliziter Funktionen das uns bekannte Resultat liefert.
Beispiel 14.1.3. Wir wollen die Steigung der Tangente an die Kurve mit der Gleichung
y = f(x) bei x mit der Methode der Differenziation impliziter Funktionen berechnen. Also
gilt für die Kurve die implizite Gleichung
und somit
F(x,y) = y −f(x) = 0
F x = −f ′ (x) und F y = 1.
Dies ergibt die uns bekannte Tangentensteigung im Punkt P(x,y)
Aufgaben
y ′ = − F x
= − −f′ (x)
= f ′ (x).
F y 1
Aufgabe 14.1.1. Berechnen Sie die Neigungen der Tangenten, die an die Kurve mit der
Gleichung y 3 −3y +x = 0 in den Schnittpunkten der Kurve mit der y-Achse gelegt sind.
Aufgabe 14.1.2. Bestimmen Sie die Ableitung y ′ der Funktion (y + 2)sin(x)−sin(y) = 0
im Ursprung.
Aufgabe 14.1.3. Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktionen mit den impliziten Darstellungen.
a. xy = y x
b.
1
2 ln(x2 +y 2 )−ln|c| = arctan( y x )
Aufgabe 14.1.4. UnterwelchenWinkelnschneideneinanderdieKurvenmitdenGleichungen
Lösungen
x 2 +4y 2 −100 = 0 und x 2 −y 2 −20 = 0?
Lösung 14.1.1. Es hat drei Schnittpunkte y 0 = 0, y 1 = √ 3 und y 2 = − √ 3. Demzufolge sind
die drei Neigungen m 0 = 1 3 , m 1 = m 2 = − 1 6 .
Lösung 14.1.2. y ′ (0,0) = 2
Lösung 14.1.3.
a. y ′ (x,y) = − y−yx ln(y)
x−xy x−1
b. y ′ (x,y) = x+y
x−y
Lösung 14.1.4. Die Schnittpunkte sind P(±6,±4) und der Schnittwinkel beträgt 76 ◦ 52 ′ .