Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.11. Ableitung von verknüpften Funktionen – Die Kettenregel 87
Aufgabe 4.11.4. Leiten Sie folgende Funktionen ab, wobei a und b positive reelle Zahlen
sind mit a ≠ 1 und b ≠ 1.
a. f(T) = √ −ln(sin(T))
b. f(u) = lg(u n )
(√ ) 1+t
c. f(t) = ln √ 1−t
d. f(x) = log a (x 3 )log b ( 1 x )
e. f(x) = ln(x+ √ 1+x 2 )
g. f(x) = ln(ln(x))
h. f(x) = ln(ln(tan(2x)))
i. f(u) = (ln(u)) 4
j. f(x) = ln
( ( x
tan
2 + π 4))
k. f(x) = ln(sin(x))+ 1 2 cot2 (x)
f. f(τ) = ln(τ cos(τ))
Aufgabe 4.11.5. Leiten Sie folgende Funktionen ab, wobei a ∈ R, b ∈ R und k ∈ Z.
( )
( )
t+a
1−cos(kx)
a. f(t) = ln
d. f(x) = ln
t+b
1+cos(kx)
( )
( )
a+x
1+sin(γ)
b. f(x) = ln
e. g(γ) = ln
a−x
1−sin(γ)
(√ )
x 2 +1−1
c. f(x) = ln
√
x 2 +1+1
Aufgabe 4.11.6. Welchen Wert hat die Ableitung der Funktion f an der Stelle x 0 , und
welchen Winkel bildet dort die Kurventangente mit der x-Achse?
a. f(x) = 1−√ x
, x 0 = 4 b. f(x) = √ x+ √ 1 , x 0 = 0.25
x
x
Aufgabe 4.11.7. Wo und unter welchen Winkeln schneiden sich die Kurven y = x 3 und
y = √ x?
Aufgabe 4.11.8. Untersuchen Sie die Funktion f(u) = |u| √ |u| auf Differenzierbarkeit.
Lösungen
Lösung 4.11.1.
a. f ′ (x) = 40x(2x 2 −1) 9
b. f ′ (x) = (3x 2 −2)(1−x 3 ) 5 −15x 2 (x 3 −2x)(1−x 3 ) 4
c. f ′ (t) = 2cos(2t)
d. f ′ (α) =
2
sin 2 (1−2α)