Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.1. Grundbegriffe und Definitionen 233
folgenden Zusammenhang mit den Zahlenfolgen: Unter der Teilsummenfolge oder auch
Partialsummenfolge einer unendlichen Reihe verstehen wir die folgende aus der Reihe
∞∑
s = u n = u 1 +u 2 +···+u n +··· .
konstruierte Zahlenfolge
n=1
s 1 = u 1
s 2 = u 1 +u 2
s 3 = u 1 +u 2 +u 3
.
s n = u 1 +u 2 +u 3 +···+u n
Dabeinennenwirs n fürallen ∈ Ndien-teTeilsumme.UnterderTeilsummenfolgeverstehen
wir dann die Zahlenfolge
(s n ) n∈N
= s 1 ,s 2 ,s 3 ,...,s n ,....
Offensichtlich gilt
s = lim
n→∞ s n =
∞∑
u n .
Wir können also die Frage der unendlichen Summe auf die der Konvergenz einer Zahlenfolge,
der Teilsummenfolge, zurückführen.
Beispiel 12.1.4 (Harmonische Reihe). Betrachten wir wieder die Reihe
∞∑ 1
H =
n = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +···+ 1 n +··· .
Die Teilsummenfolge ist
n=1
s 1 = 1
s 2 = 1+ 1 2 = 3 2
n=1
s 3 = 1+ 1 2 + 1 3 = 11 6
s 4 = 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 = 25
12
.
Definition 12.1.3. Eine unendliche Reihe ∑ ∞
n=1 u n heisst konvergent, genau dann, wenn
mit wachsendem n die Teilsummenfolge s n = u 1 + u 2 + u 3 + ··· + u n einem bestimmten
endlichen Grenzwert s zustrebt.
s = lim
n→∞ s n =
Der endlichen Grenzwert s heisst Summenwert der unendlichen Reihe.
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennen wir die Reihe divergent. Falls s plus oder minus
unendlich ist, dann heisst die Reihe bestimmt divergent sonst unbestimmt divergent
oder oszillierend.
∞∑
n=1
u n