Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

402 Kapitel 22. Differenzialgleichungen in der Mechanik
Das Problem wird durch die Differenzialgleichung der elastischen Linie 3
y ′′
√
1+y ′2 3 = −M EI
beschrieben. Da die Durchbiegung des Stabes in den meisten Fällen sehr klein gegenüber
der Stablänge l ist, ist y ′ , das als Tangenswert des Auslenkwinkels gedeutet werden kann,
sehr klein, und y ′2 kann gegenüber 1 vernachlässigt werden. Die Differenzialgleichung der
elastischen Linie nimmt dann die wesentlich einfacher zu lösende Form an:
y ′′ = − M EI ,
wobei E das Elastizitätsmodul, I das axiale Flächenmoment des Stabquerschnitts
und
M(y) = Fy
das Biegemoment angepasst an unsereSituation darstellen. Wir erhalten also die zu lösende
Differenzialgleichung
Wir setzen
y ′′ = − F EI y.
a 2 = F EI
und erhalten die homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung
y ′′ +a 2 y = 0.
Die charakteristische Gleichung k 2 +a 2 = 0 hat die konjugiert komplexen Lösungen k 1 = ia
und k 2 = −ia. Also ist die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
y(x) = Acos(ax)+Bsin(ax),
wobei wir jetzt die Konstanten A und B aus den Randbedingungen bestimmen. Die aus der
Problemstellung gegebenen Randbedingungen lauten y(0) = y(l) = 0. Es folgt unmittelbar
aus y(0) = A = 0 und
y(l) = Bsin(al) = 0
(mit B ≠ 0, da wir sonst keine Auslenkung haben), dass sin(al) = 0 sein muss. Dies ist aber
nur der Fall, wenn
al = nπ mit n ∈ {1,2,3,...}
oder wenn
a n = nπ
l
=
√
Fn
EI .
3 Herleitung: Wird ein Stab von konstantem Querschnitt durch ein positives Moment M auf Biegung
beansprucht, so wirken auf der einen Seite Zugspannungen, verbunden mit einer Verlängerung der Fasern und
auf der anderen Seite Druckspannungen, verbunden mit einer Verkürzung der Fasern. In der Mitte befindet
sich dann eine Schicht, die ihre Länge beibehält. Die Krümmungdes Stabes (vgl. Gleichung 5.6.a) k =
ist nun proportional zum wirkenden Moment M (vgl. [19], Seiten 87ff).
y ′′
√1+y ′2 3