Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

236 Kapitel 12. Unendliche Reihen
Beweis. Wir schätzen die Teilsummen nach unten ab und geben ihnen neue Namen a 2 n, d.h.,
s 1 = 1 = a 2 0
s 2 = 1+ 1 2 = 3 2 = a 2 1
)
)
s 4 = 1+ 1 ( 1
2 + 3 + 1 > 1+ 1 ( 1
4 2 + 4 + 1 = 4 4 2 = a 2 2
( 1
s 8 = s 4 +
5 + 1 6 + 1 7 + 1 ( 1
> a
8)
2 2 +
8 + 1 8 + 1 8 8)
+ 1 = 5 2 = a 2 3
.
Allgemein ergibt sich nun durch vollständige Induktion
Dies bedeutet aber
s 2 n ≥ a 2 n = n+2 .
2
H = lim s 2
n→∞ n ≥ lim a 2
n→∞ n = lim n+2
= +∞,
n→∞ 2
also divergieren die Teilsummen. Damit ist die harmonische Reihe divergent.
Wir sehen bereits am Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe, dass diese extrem langsam
ist. In der Tat divergiert die harmonische Reihe gleich schnell wie der natürliche Logarithmus.
Es ist
γ = lim
(1+ 1
n→∞ 2 + 1 3 + 1 4 +···+ 1 )
n −ln(n) = 0.577215664901532...
die Euler-Mascheronische Konstante 2 .
Wir können obigen Satz 12.3.1 negieren und erhalten das Korollar.
Korollar 12.3.1. Ist
so divergiert die Reihe ∑ ∞
n=1 u n.
lim u n ≠ 0,
n→∞
2 Von ihr wissen die Mathematiker heute noch immer nicht, ob sie irrational (d.h. sie ist nicht ein Bruch
zweier ganzen Zahlen), oder sogar transzendent (d.h. sie ist nicht Lösung einer polynomialen Gleichung mit
ganzzahligen Koeffizienten) ist. Leonhard Euler schrieb sie 1734 noch mit dem Zeichen C, was einige Mathematiker
(und Formelsammlungen) beibehalten haben. Ein jüngerer Zeitgenosse, der Geometer Lorenzo
Mascheroni, benutzte bereits das Zeichen γ, das heute allgemein üblich ist. So ist auch der Name Euler-
Mascheronische Konstante gebräuchlich. Sie spielt eine Rolle in der Analysis und der Zahlentheorie. Das
war ein hinreichender Grund für die Zahlenknacker, sich ihrer anzunehmen. Im Jahre 1736 fand Euler schon
5 und später 16 Stellen, 1790 glaubte Mascheroni 32 gefunden zu haben. Es waren aber nur deren 19 richtig.
Im Oktober 1999 hatten X. Gourdon und P. Demichel mit einer HP J5000 und 2 Prozessoren 8500 (440 MHz)
dann 108000000 Stellen geknackt. Sicher sind sich die Mathematiker deswegen aber immer noch nicht, ob in
der Ziffernfolge keine Periode auftritt.