Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

398 Kapitel 22. Differenzialgleichungen in der Mechanik
Abbildung 22.0.i: Sir Isaac Newton, 1643-1727
2. Die Kraft ist eine Funktion der Geschwindigkeit
m¨s = F(ṡ).
Die Differenzialgleichung lässt sich durch Substitution v = ṡ auf eine Differenzialgleichung
erster Ordnung zurückführen (vgl. Kapitel 21.11). Ein Beispiel dazu ist der freie
Fall mit Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit oder zur Geschwindigkeit im
Quadrat (vgl. Kapitel 22.1).
3. Die Kraft ist eine Funktion des Weges
m¨s = F(s).
Wir betrachten nur den Spezialfall F(s) = κs, was einer Differenzialgleichung zweiter
Ordnung mit konstanten Koeffizienten ergibt. Ein Beispiel dazu ist die Rückführungskraft
einer Feder (vgl. Kapitel 22.3).
4. Die Kraft ist eine Funktion des Weges und der Geschwindigkeit
m¨s = F(s,ṡ).
Ein Beispiel dazu ist die Differenzialgleichung der gedämpften Schwingung (vgl. Kapitel
22.3).
22.1 Freier Fall mit und ohne Luftwiderstand
1. Ohne Luftwiderstand
Beim freien Fall im Gravitationsfeld der Erde ohne Luftwiderstand ergibt sich die zu lösende
Differenzialgleichung
m¨s = mg,
wobei m die Masse des fallenden Objektes und g = 9.81ms −2 die Erdbeschleunigung ist.
Wir suchen die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen s(0) = s 0 und v(0) = v 0 . Die