Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

82 Kapitel 4. Differenzialrechnung
y
y
y + dy
Q ′
•
y + ∆y
y
P
•
∆x
Q
•
∆y
y
P
•
dx
dy
x
x + ∆x
x x x + dx
x
Abbildung 4.10.i: Zum Begriff des Differenzials einer Funktion
• Für f(x) = sin(x) gilt dy = cos(x)dx.
• Für f(x) = x gilt dy = 1·dx = dx.
• Für f(x) = c, wobei c eine konstante reelle Zahl ist, gilt dy = 0·dx = 0.
Aus der Bezeichnung (4.10.a) ziehen wir den Schluss, dass die Ableitung einer Funktion als
Quotient zweier Differenziale aufgefasst werden darf:
f ′ (x) = dy
dx = lim ∆y
∆x→0 ∆x .
In diesem Skriptum verwenden wir meistens die alternative Notation df
dx
. Um klar zu machen,
dass die Ableitung an der Stelle x gemeint ist, schreiben wir 7 df
dx (x).
Aus der differenziellen Schreibweise für die Ableitung geht klar hervor, nach welcher Variable
differenziert werden soll. Zum Beispiel, gilt für die Funktion s(t) = g 2 t2 +v 0 t+s 0
ds
dt (t) = gt+v 0.
Dieser Funktion werden wir noch einmal im Kapitel 5.1 begegnen.
Beispiel 4.10.2. Der Pizzaiolo einer Pizzeria hat beschlossen seine Pizzas vom Radius
r = 10cm um 1cm zu vergrössern. Dazu will er eine kleine Überschlagsrechnung machen,
um herauszufinden um wie viel die Fläche zunimmt. Der Flächeninhalt in Abhängigkeit des
Radius wird durch die Funktion A(r) = πr 2 beschrieben. Dementsprechen vergrössert sich
der Flächeninhalt um
∆A = π(r +∆r) 2 −πr 2 = π(2r∆r+(∆r) 2 ) = π(2·10cm·1cm+(1cm) 2 ) = 21πcm 2 .
Anstelle dieser relativ aufwändigen Rechnung verwendet der clevere Pizzaiolo das Differenzial
von A. Er erhält eine approximative Vergrösserung des Flächeninhalts von
dA = 2πrdr = 2π ·10cm·1cm = 20πcm 2 .
Der Fehler ∆A−dA = πcm 2 , der dadurch entstand, heisst Linearisierungsfehler, weil die
Funktion A an der Stelle r = 10cm mit der Tangente approximiert wurde. Wir werden in der
Datenanalyse diesen Sachverhalt bei der Fehlerrechnung genauer untersuchen.
7 In der Literatur finden sich auch die Schreibweisen df(x)
dx
und d
dx f(x).