Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.5. Potenzreihen 249
1. Mit dem Quotientenkriterium von d’Alembert: Wir betrachten
∣ lim
u n+1∣∣∣
n→∞∣
= lim
a n+1 x n+1 ∣ ∣ ∣∣∣ u n n→∞∣
a n x n = lim
a n+1∣∣∣
n→∞∣
|x|.
a n
Nun wissen wir, dass die Reihe absolut konvergiert, falls der Grenzwert kleiner ist als
1, also folgt
∣
1
|x| < ∣ ∣ ∣∣ a
lim n+1∣∣
= lim
a n ∣∣∣
n→∞∣
= r
a n→∞ n+1
a n
2. Mit dem Wurzelkriterium von Cauchy: Wir betrachten
lim
n→∞
√
n |un | = lim
n→∞
√
n |an x n | = lim
n→∞
√
n |an ||x|.
Nun wissen wir, dass die Reihe absolut konvergiert, falls der Grenzwert kleiner ist als
1, also folgt
1
|x| <
lim √ n n→∞ |a n | = r
Diese beiden Kriterien helfen uns den Konvergenzradius zu berechnen.
Beispiel 12.5.4. Wir betrachten nun einige Berechnungen des Konvergenzradius.
a. Untersuche die Potenzreihe
Mit dem Quotientenkriterium folgt
r = lim
∣
n→∞
P(x) =
a n
∞∑
n=1
x n
n .
a n+1
∣ ∣∣∣
= lim
n→∞
n+1
n
= 1.
Nun untersuchen wir die beiden Randpunkte einzeln:
• Am rechten Randpunktx = 1 des Konvergenzintervalls haben wir die harmonische
Reihe
∞∑ 1
P(1) =
n ,
die divergent ist.
• AmlinkenRandpunktx = −1desKonvergenzintervalls habenwirdiealternierende
harmonische Reihe
∞∑ (−1) n
P(−1) =
n ,
die konvergent ist.
n=1
n=1
Somit konvergiert die Potenzreihe für alle x ∈ [−1,1[.