Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 4
Differenzialrechnung
4.1 Tangentenproblem, Ableitung
Wir betrachten im Folgenden nur Funktionen, die in den verwendeten Intervallen stetig sind.
Es seien also eine stetige Funktion f und zwei verschiedene Punkte P(x,y) und P 0 (x 0 ,y 0 )
auf ihrem Grafen gegeben, das heisst, y = f(x) und y 0 = f(x 0 ). Nach den Überlegungen
des Kapitels 2.10 wissen wir, dass sich die Steigung der Sekante durch P und P 0 wie folgt
ausdrucken lässt
∆y
∆x = f(x+∆x)−f(x) ,
∆x
wobei ∆x = x 0 − x und ∆y = y 0 − y (vgl. Abbildung 4.1.i). Lassen wir P 0 auf der Kurve
y
f(x 0 )
P 0
•
f(x)
P
•
∆x
∆y
x x 0
x
Abbildung 4.1.i: Die Sekantensteigung ∆y
∆x
gegen P streben, das heisst ∆x → 0, so erhalten wir als Grenzfall die Steigung der Tangente
im Punkt P.
Definition 4.1.1. Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x, geschrieben f ′ (x), ist der
Grenzwert
f ′ ∆y
(x) = lim
∆x→0 ∆x = lim f(x+∆x)−f(x)
,
∆x→0 ∆x
der die Steigung der Tangente zur Kurve y = f(x) im Punkt P(x,f(x)) ergibt 1 . Die Funktion
1 Die Ableitung wird in der Literatur häufig auch mit y ′ bezeichnet.
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