Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

14 Kapitel 2. Funktionen
2.3 Affine Funktionen, Geradengleichung
Besonders häufig treten in den Anwendungen Geraden auf, d.h. Grafen von affinen Funktionen
1 . Es sind dies Polynomfunktionen ersten Grades
f(x) = mx+b.
Die grafische Darstellung y = f(x) ist bekanntlich eine Gerade mit der Steigung m und
dem y-Achsenabschnitt b. Die Steigung m und der Steigungswinkel σ sind dabei über
die Beziehung
m = tan(σ)
miteinander verknüpft. Neben der Form y = mx+b können wir die Gleichung einer Geraden
mit Steigung m, die durch den Punkt P 0 (x 0 ,y 0 ) geht, auch durch
y −y 0
x−x 0
= m
beschreiben(vgl. Abbildung2.3.i).IndemwirdieseGeradengleichungnachy auflösen,erhalten
wir die uns bekannte Form
y = mx+y 0 −mx 0 .
mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b = y 0 −mx 0 .
y
y
Normale n
y
y 0
P 0
•
P
•
y − y 0
σ
x − x 0
y 0
·
•
P0
Gerade g
y = mx + b
σ
b
x 0
x
x
x 0
x
Abbildung 2.3.i: Gerade durch den Punkt
P 0 (x 0 ,y 0 ).
Abbildung 2.3.ii: Gerade und Normale
durch den Punkt P 0 (x 0 ,y 0 ).
Ist eine Gerade g durch die Form y = m g x + b gegeben, so sind wir oft vor die Aufgabe
gestellt, im Punkt P 0 (x 0 ,y 0 ) eine senkrechte Gerade, die Normale n, auf diese Gerade zu
errichten. Diese Normale ist wiederum eine Gerade, die durch die Gleichung
y −y 0
x−x 0
= m n
mit m n ·m g = −1
beschrieben wird.
1 In der Literatur werden Funktionen der Form f(x) = mx+b oft fälschlicherweise lineare Funktionen
genannt. In Übereinstimmung mit der Linearen Algebra bezeichnen wir nur Funktionen der Form f(x) = mx
als linear. Grafen von linearen Funktionen gehen alle durch den Ursprung.