Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

76 Kapitel 4. Differenzialrechnung
Lösung 4.7.4.
a. 70.53 ◦ b. 53.13 ◦
Lösung 4.7.5.
( π
2 −cos(x 0)−x 0 sin(x 0 )
cos(x 0 )
) 2
Lösung 4.7.6. Die Abszisse des Schnittpunktes ist x 0 + 1 4 sin(4x 0). Zur Kontrolle könnten
Sie zum Beispiel x 0 = π 4
einsetzen. Wieso?
Lösung 4.7.7. y = sin(x 0 )+cos(x 0 )(x−x 0 )
4.8 Logarithmen
Es sei a eine positive reelle Zahl mit a ≠ 1. Der Graf der Exponentialfunktion f(x) = a x
kennen wir aus dem Kapitel 2.6: Wenn a > 1, ist er monoton steigend; wenn a ∈]0,1[, ist
er monoton fallend (vgl. Abbildungen 4.8.i und 4.8.ii). In beiden Fällen ist der Wertebereich
y
y
1
1
x
x
Abbildung 4.8.i: y = a x , wobei a > 1
Abbildung 4.8.ii: y = a x , wobei a < 1
]0,∞[. Daraus folgt, dass für jede positive reelle Zahl y die Gleichung y = a x genau eine
Lösung besitzt. Diese Lösung wird durch log a (y) bezeichnet und den Logarithmus von y
zur Basis a genannt. Anders gesagt gilt für jedes y ∈ ]0,∞[
x = log a (y) ⇔ y = a x .
Logarithmen können zu jeder beliebigen Basis a ∈ ]0,∞[ − {1} berechnet werden, jedoch
werden die Basen a = 10 und a = e am häufigsten verwendet. Logarithmen zur Basis 10
werden oft mit lg statt log 10 bezeichnet und sind nützlich für numerische Berechnungen. Die
Basis e ist dagegen für theoretische Anwendungen besonders geeignet. Logarithmen zur Basis
e werden mit ln bezeichnet und natürliche Logarithmen genannt.
Das folgende Ergebnis zeigt, dass sich die Funktionen f(x) = a x und g(x) = log a (x) gegenseitig
“aufheben” 6 .
Lemma 4.8.1. Für alle u ∈ ]0,∞[ gelten
a log a (u) = u und log a (a u ) = u.
Beweis. Folgt sofort aus der Definition des Logarithmus.
6 Präziser formuliert bedeutet dies, dass f(g(x)) = 1 für alle x ∈ X g und g(f(x)) = 1 für alle x ∈ X f . Wir
sagen, f und g seien Umkehrfunktionen zueinander. Dieser Begriff wird im Kapitel 8 weiter erläutert.