Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

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156 Kapitel 7. Das Riemannsche Integral Abbildung 7.1.v: Lejeune Dirichlet, 1805- 1859 Abbildung 7.1.vi: Henri Lebesgue, 1875- 1941 Numerische Integration Das Approximationsverfahren mit Hilfe der Riemannschen Unter- und Obersumme kann zur numerischen Berechnung von bestimmten Integralen verwendet werden. Das Integrationsintervall [a,b] wird in n gleich grosse Teilintervalle unterteilt. Wir können entweder den Funktionswert am linken Teilintervallende nehmen, dann gilt ∫ b n∑ ( b−a f(x)dx ≈ n ·f (b−a) k −1 ) n +a oder am rechten Ende, dann gilt a ∫ b a f(x)dx ≈ k=1 n∑ k=1 b−a n ·f ( (b−a) k n +a ) . Bei einfachen Funktionen reichen oft schon wenige Teilintervalle. Um eine bessere Konvergenz zu erhalten, können wir auch die Fläche unter dem Grafen der Funktion durch Trapeze approximieren. Dann erhalten wir ∫ b a f(x)dx ≈ n∑ b−a n · f( (b−a) k−1 n +a) +f ( (b−a) k n +a) . 2 k=1 Beispiel 7.1.3. Wir wollen das bestimmte Integral ∫ 1 0 x 2 dx = 1 3 als endliche Riemannsumme berechnen. Es sei n die Anzahl der Teilintervalle. n 1 5 10 50 100 Rechteckapproximation (links) 0 0.24 0.285 0.3234 0.32835 Trapezapproximation 0.5 0.34 0.335 0.3334 0.33335 Rechteckapproximation (rechts) 1 0.44 0.385 0.3434 0.33835 Für n → ∞ konvergiert die Approximation natürlich gegen den exakten Wert 1 3 .
7.1. Das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summenfolge 157 Aufgabe Aufgabe 7.1.1. Berechnen Sie mit Hilfe der Untersumme und Obersumme das Integral Lösung Lösung 7.1.1. Benutzen Sie die Formel n∑ k=1 (vgl. Appendix A.2.3 Formel (A.2.c)). ∫ a 0 x 3 dx. k 3 = n2 (n+1) 2 4
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Analysis I - IV (an) Prof. Dr. Marc
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Liebe Studierende Sie lesen das Vor
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Inhaltsverzeichnis Liebe Studierend
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v 12 Unendliche Reihen 231 12.1 Gru
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vii A.4.2 Epizykloide - Wankelmotor
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Kapitel 1 Grundbegriffe der Mengenl
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1.4. Zahlenmengen und Punktmengen 3
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1.5. Ebene und räumliche Punktmeng
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Seite 21 und 22:
Kapitel 2 Funktionen 2.1 Beispiele
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2.2. Der Funktionsbegriff 13 Eine F
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2.4. Potenzfunktionen 15 2.4 Potenz
Seite 27 und 28:
2.4. Potenzfunktionen 17 Lösung 2.
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2.4. Potenzfunktionen 19 y y y = 1
Seite 31 und 32:
2.5. Polynomfunktionen zweiten Grad
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2.6. Exponentialfunktionen 23 y y 1
Seite 35 und 36:
2.8. Monotonie 25 y y ax 3 −ax 3
Seite 37 und 38:
• • 2.10. Differenzenquotient 2
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2.10. Differenzenquotient 29 Der Au
Seite 41 und 42:
2.10. Differenzenquotient 31 Die Au
Seite 43 und 44:
Kapitel 3 Grenzwerte 3.1 Grenzwerte
Seite 45 und 46:
3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 35
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3.1. Grenzwerte von Zahlenfolgen 37
Seite 49 und 50:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 39 3
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3.3. Grenzwerte von Funktionen 41 s
Seite 53 und 54:
3.3. Grenzwerte von Funktionen 43 g
Seite 55 und 56:
3.4. Stetigkeit einer Funktion 45 3
Seite 57 und 58:
3.5. Singularitäten einer Funktion
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3.5. Singularitäten einer Funktion
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3.6. Verhalten von Funktionen im Un
Seite 63 und 64:
Kapitel 4 Differenzialrechnung 4.1
Seite 65 und 66:
4.1. Tangentenproblem, Ableitung 55
Seite 67 und 68:
4.2. Fakultäten, Binomialkoeffizie
Seite 69 und 70:
Seite 71 und 72:
Seite 73 und 74:
4.3. Ableitung der Potenzfunktion 6
Seite 75 und 76:
4.4. Grundregeln der Differenzialre
Seite 77 und 78:
4.5. Ableitung eines Produkts 67 L
Seite 79 und 80:
4.6. Ableitung eines Quotienten 69
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4.6. Ableitung eines Quotienten 71
Seite 83 und 84:
4.7. Ableitung der trigonometrische
Seite 85 und 86:
4.7. Ableitung der trigonometrische
Seite 87 und 88:
4.8. Logarithmen 77 Diefolgendensog
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4.8. Logarithmen 79 Aufgabe 4.8.5.
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4.10. Differenzial einer Funktion 8
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4.11. Ableitung von verknüpften Fu
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Seite 97 und 98:
Seite 99 und 100:
4.12. Ableitung impliziter Funktion
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4.12. Ableitung impliziter Funktion
Seite 103 und 104:
4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 105 und 106:
4.13. Differenzieren nach Logarithm
Seite 107 und 108:
4.14. Höhere Ableitungen 97 In dif
Seite 109 und 110:
4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
Seite 111 und 112:
4.15. Differenzierbarkeit einer Fun
Seite 113 und 114:
Kapitel 5 Anwendungen der Differenz
Seite 115 und 116: 5.1. Physik 105 Aufgabe 5.1.5. Ein
Seite 117 und 118: 5.2. Gleichungen numerisch lösen 1
Seite 123 und 124: 5.3. Uneigentliche Grenzwerte - Reg
Seite 129 und 130: 5.4. Untersuchung von Funktionen -
Seite 131 und 132: 5.4. Untersuchung von Funktionen -
Seite 133 und 134: 5.5. Beispiele einer Kurvendiskussi
Seite 141 und 142: 5.6. Krümmung, Krümmungskreis, Ev
Seite 147 und 148: Kapitel 6 Integralrechnung 6.1 Das
Seite 149 und 150: 6.1. Das unbestimmte Integral 139 y
Seite 151 und 152: 6.2. Das bestimmte Integral 141 Wen
Seite 153 und 154: 6.3. Integrationsregeln 143 Beweis.
Seite 155 und 156: 6.5. Allgemeine Flächenberechnunge
Seite 161 und 162: Kapitel 7 Das Riemannsche Integral
Seite 163 und 164: 7.1. Das bestimmte Integral als Gre
Seite 165: 7.1. Das bestimmte Integral als Gre
Seite 169 und 170: Kapitel 8 Umkehrfunktionen 8.1 Defi
Seite 171 und 172: 8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 173 und 174: 8.1. Definition der Umkehrfunktion
Seite 175 und 176: 8.2. Arkusfunktionen (Zyklometrisch
Seite 183 und 184: Kapitel 9 Hyperbelfunktionen und ih
Seite 185 und 186: 9.1. Hyperbelfunktionen 175 y 1 y =
Seite 187 und 188: 9.1. Hyperbelfunktionen 177 4. ∫
Seite 189 und 190: 9.1. Hyperbelfunktionen 179 Dabei w
Seite 191 und 192: 9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 193 und 194: 9.2. Areafunktionen (Flächenfunkti
Seite 195 und 196: Kapitel 10 Volumen, Oberflächen- u
Seite 197 und 198: 10.1. Volumen von Rotationskörpern
Seite 199 und 200: 10.1. Volumen von Rotationskörpern
Seite 201 und 202: 10.2. Bogenlänge einer Kurve 191 L
Seite 203 und 204: 10.3. Mantelfläche von Rotationsk
Seite 205 und 206: Kapitel 11 Integrationsmethoden Die
Seite 207 und 208: 11.1. Integration durch Substitutio
Seite 217 und 218:
11.1. Integration durch Substitutio
Seite 219 und 220:
11.2. Partielle Integration 209 b.
Seite 221 und 222:
11.2. Partielle Integration 211 Nun
Seite 223 und 224:
11.2. Partielle Integration 213 Lö
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11.2. Partielle Integration 215 Auf
Seite 227 und 228:
11.3. Integration rationaler Funkti
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Seite 231 und 232:
Seite 233 und 234:
Seite 235 und 236:
Seite 237 und 238:
Seite 239 und 240:
Seite 241 und 242:
Kapitel 12 Unendliche Reihen Unendl
Seite 243 und 244:
12.1. Grundbegriffe und Definitione
Seite 245 und 246:
12.3. Konvergenzkriterien 235 b. Di
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12.3. Konvergenzkriterien 237 Alter
Seite 249 und 250:
12.3. Konvergenzkriterien 239 v 1
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12.3. Konvergenzkriterien 241 Beisp
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12.3. Konvergenzkriterien 243 Mit d
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12.4. Konvergenzverhalten der hyper
Seite 257 und 258:
12.5. Potenzreihen 247 Zu den folge
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12.5. Potenzreihen 249 1. Mit dem Q
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12.5. Potenzreihen 251 • Amlinken
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12.7. Taylorreihe einer Funktion 25
Seite 265 und 266:
12.8. Geometrische Bedeutung der Ta
Seite 267 und 268:
12.9. Allgemeine Form der Taylorrei
Seite 269 und 270:
12.10. Binomische Reihe 259 12.10 B
Seite 271 und 272:
12.11. Methoden zur Reihenentwicklu
Seite 273 und 274:
12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur
Seite 275 und 276:
Seite 277 und 278:
Seite 279 und 280:
Kapitel 13 Funktionen mehrerer unab
Seite 281 und 282:
13.2. Geometrische Darstellung 271
Seite 283 und 284:
13.3. Partielle Ableitungen 273 z z
Seite 285 und 286:
13.4. Der Satz von Schwarz 275 13.4
Seite 287 und 288:
13.4. Der Satz von Schwarz 277 Abbi
Seite 289 und 290:
13.5. Das vollständige Differenzia
Seite 291 und 292:
Seite 293 und 294:
13.7. Museum of Mathematical Art 28
Seite 295 und 296:
13.7. Museum of Mathematical Art 28
Seite 297 und 298:
Kapitel 14 Ableitung impliziter Fun
Seite 299 und 300:
Seite 301 und 302:
Kapitel 15 Gradient und Tangentiale
Seite 303 und 304:
15.2. Berechnung der Tangentialeben
Seite 305 und 306:
Kapitel 16 Extremstellen bei mehrer
Seite 307 und 308:
16.1. Notwendige und hinreichende B
Seite 309 und 310:
16.2. Methode der kleinsten Quadrat
Seite 311 und 312:
16.2. Methode der kleinsten Quadrat
Seite 313 und 314:
Kapitel 17 Approximation mit minima
Seite 315 und 316:
17.2. Approximation von diskreten F
Seite 317 und 318:
Seite 319 und 320:
Seite 321 und 322:
Kapitel 18 Extremwerte mit Nebenbed
Seite 323 und 324:
18.2. Lagrangemultiplikatoren 313 d
Seite 325 und 326:
18.2. Lagrangemultiplikatoren 315 W
Seite 327 und 328:
18.2. Lagrangemultiplikatoren 317 L
Seite 329 und 330:
Kapitel 19 Mehrfache Integrale Zur
Seite 331 und 332:
19.2. Verallgemeinerung des Fläche
Seite 333 und 334:
19.2. Verallgemeinerung des Fläche
Seite 335 und 336:
19.3. Variablensubstitution in eine
Seite 337 und 338:
19.4. Berechnung von Trägheitsmome
Seite 339 und 340:
19.4. Berechnung von Trägheitsmome
Seite 341 und 342:
Kapitel 20 Arbeit und Linienintegra
Seite 343 und 344:
20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 345 und 346:
20.1. Kurven und Vektorfelder im Ra
Seite 347 und 348:
20.2. Das Linienintegral 337 y x Ab
Seite 349 und 350:
20.2. Das Linienintegral 339 Beispi
Seite 351 und 352:
20.2. Das Linienintegral 341 y P(1,
Seite 353 und 354:
20.3. Linienintegral im Potenzialfe
Seite 355 und 356:
Seite 357 und 358:
Seite 359 und 360:
Seite 361 und 362:
Kapitel 21 Differenzialgleichungen
Seite 363 und 364:
21.3. Problemstellungen mit Differe
Seite 365 und 366:
21.5. Differenzialgleichungen von K
Seite 367 und 368:
21.6. Integration von Differenzialg
Seite 369 und 370:
Seite 371 und 372:
Seite 373 und 374:
21.7. Orthogonaltrajektorien 363 b.
Seite 375 und 376:
21.8. Integration von linearen Diff
Seite 377 und 378:
21.9. Variation der Konstanten 367
Seite 379 und 380:
21.9. Variation der Konstanten 369
Seite 381 und 382:
21.10. Ansatzmethode und Superposit
Seite 383 und 384:
Seite 385 und 386:
Seite 387 und 388:
21.11. Differenzialgleichungen zwei
Seite 389 und 390:
21.11. Differenzialgleichungen zwei
Seite 391 und 392:
21.12. Allgemeine Betrachtungen zu
Seite 393 und 394:
21.13. Homogene lineare Differenzia
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Seite 397 und 398:
Seite 399 und 400:
21.15. Inhomogene lineare Differenz
Seite 401 und 402:
Seite 403 und 404:
Seite 405 und 406:
21.16. Zusammenstellung der Lösung
Seite 407 und 408:
Kapitel 22 Differenzialgleichungen
Seite 409 und 410:
22.1. Freier Fall mit und ohne Luft
Seite 411 und 412:
22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
Seite 413 und 414:
22.2. Randwertprobleme, Eigenwerte
Seite 415 und 416:
22.3. Die freie Schwingung 405 Wenn
Seite 417 und 418:
22.3. Die freie Schwingung 407 R R
Seite 419 und 420:
22.3. Die freie Schwingung 409 Aufg
Seite 421 und 422:
22.4. Die erzwungene Schwingung 411
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Seite 425 und 426:
Seite 427 und 428:
Kapitel 23 Systeme von Differenzial
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23.1. Systeme von linearen Differen
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Anhang A Anwendungen A.1 Elementare
Seite 433 und 434:
A.2. Folgen 423 Abbildung A.2.i: Ta
Seite 435 und 436:
A.2. Folgen 425 x Um lim n+1 −x x
Seite 437 und 438:
A.3. Fraktale 427 Abbildung A.3.ii:
Seite 439 und 440:
A.3. Fraktale 429 n = 1 Iterationen
Seite 441 und 442:
A.4. Rollkurven 431 A.3.4 Mengerwü
Seite 443 und 444:
A.5. Bauwerke mathematisch betracht
Seite 445 und 446:
A.5. Bauwerke mathematisch betracht
Seite 447 und 448:
A.6. Aus der Stochastik 437 berechn
Seite 449 und 450:
Anhang B Tafeln B.1 Tafel der Grund
Seite 451 und 452:
Literaturverzeichnis [1] M. Aigner
Seite 453 und 454:
Index N, 1 N 0 , 1 Z, 1 Q, 1 R, 1 C
Seite 455 und 456:
Index 445 Entropie, 349 Entwicklung
Seite 457 und 458:
Index 447 abgeschlossen, 4 beschrä
Seite 459 und 460:
Index 449 Nullstelle, 21 Formel, 21
Seite 461 und 462:
Index 451 Stokes George Gabriel, 18
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