Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

338 Kapitel 20. Arbeit und Linienintegrale
d.h., die Arbeit ist gleich Kraft mal Wegkomponente. 1 Die Richtung von ⃗s wird in jedem
Punkt der Kurve von d⃗r gegeben, also haben wir
dW = ⃗ F ·d⃗r.
Somit gilt für die Arbeit zwischen den beiden Punkten P 1 und P 2 der Kurve im Kraftfeld ⃗ F
W =
∫ P2
P 1
dW =
∫ P2
P 1
⃗ F ·d⃗r.
Ein solches Integral heisst Linien- oder Wegintegral. Für die praktische Berechnung gehen
y
P 2
•
⃗r(t)
⃗ F
d⃗r
x
P 1
•
Abbildung 20.2.i: Linienintegral
wir wie folgt vor. Es sei eine Parametrisierung ⃗r(t) der Kurve gegeben, längs welcher der
Massenpunkt im Kraftfeld von ⃗r(t 1 ) = P 1 nach ⃗r(t 2 ) = P 2 verschoben werden soll
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x(t)
ẋ(t)
⃗r(t) = ⎝ y(t) ⎠ und somit ˙⃗r(t) = ⎝ ẏ(t) ⎠.
z(t)
ż(t)
Also ergibt sich mit der Kettenregel d⃗r = d⃗r
dt dt = ˙⃗rdt und das Linienintegral wird zu
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∫ P2
∫ t2
∫ t2 F 1 ẋ ∫ t2
W = F ⃗ ·d⃗r = F ⃗ · ˙⃗rdt = ⎝ F 2
⎠· ⎝ ẏ ⎠dt = (F 1 ẋ+F 2 ẏ +F 3 ż)dt.
P 1 t 1 t 1
F 3 ż
t 1
Hierin ist dann x = x(t), y = y(t) und z = z(t) zu setzen, und es ergibt sich die Formel
W =
=
∫ t2
t 1
∫ t2
⃗ F (⃗r(t))· ˙⃗r(t)dt
t 1
(F 1 (x(t),y(t),z(t))ẋ(t)+F 2 (x(t),y(t),z(t))ẏ(t)+F 3 (x(t),y(t),z(t))ż(t))dt.
1 Der Punkt · bedeutet das Skalarprodukt.