Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

3.3. Grenzwerte von Funktionen 39
3.3 Grenzwerte von Funktionen
Als Anwendung der Grenzwertbestimmung von Zahlenfolgen betrachten wir die Grenzwertbestimmung
bei Funktionen. Es sollen Methoden entwickelt werden, eine Funktion in der
näheren Umgebung von gewissen Stellen zu untersuchen. Das geeignete Hilfsmittel dazu sind
die Zahlenfolgen.
Wir gehen von einem Beispiel aus. Zu untersuchen ist das Verhalten der Funktion
f : R −→ R
x ↦−→ x 2
in der Umgebung des Punktes P(2,4). Dazu wählen wir eine Zahlenfolge (x n ) n∈N , die innerhalb
des Definitionsbereichs X f = R verläuft und den Grenzwert 2 hat, zum Beispiel die
Zahlenfolge mit n-ten Glied x n = 2+ 1 n
. Für jedes n ∈ N setzen wir
y n = f(x n ) =
(
2+ 1 n) 2
.
Die Punktfolge (P n (x n ,y n )) n∈N nähert sich auf der Parabel y = f(x) von rechts beliebig nahe
dem Punkt P(2,4) an (vgl. Abbildung 3.3.i). Wir nennen den Wert 4 den rechtsseitigen
Grenzwert der Funktion f an der Stelle 2.
y
P 1
x 1
•
•
•
•
y 3
4
•
•
•
•
P
y 1
P 2
x 2
y 2
P 3
x 3
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
2
•
x
Abbildung 3.3.i: P n −→ P
Entsprechend können wir eine Annäherungvon links erhalten, indem wir die Folge der Zahlen
x n = 2− 1 n wählen. Auch dann strebt die Folge der Funktionswerte y = f(x n) gegen 4. Dieses
Mal sprechen wir von einem linksseitigen Grenzwert der Funktion f.
Eigentlich würdejedebeliebige Folge (x n ) n∈N , die gegen 2 strebt, denGrenzwert 4 des Funktionswertes
ergeben. Lautderfolgenden Definition sagen wir,4sei derallgemeine Grenzwert
der Funktion f an der Stelle 2.