Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

422 Anhang A. Anwendungen
A.2 Folgen
A.2.1 Fibonaccifolge
Der italienische Mathematiker Leonardo Pisano (1170?-1250?; 80?) (vgl. Abbildung 3.1.i),
besser bekannt unter dem Namen Fibonacci, stellte in seinem wichtigen Werk dem Liber
Abbaci von 1202 eine Aufgabe zur Kanichenvermehrung, die harmlos genug aussah und
doch ganz unerwartete Folgen haben sollte:
Ein Mann hält ein Kaninchenpaar an einem Ort, der gänzlich von einer
”
Mauer umgeben ist. Wir wollen nun wissen, wie viele Paare von ihnen in einem
Jahr gezüchtet werden können, wenn die Natur es so eingerichtet hat, dass diese
Kaninchen jeden Monat ein weiteres Paar zur Welt bringen und damit im zweiten
Monat nach ihrer Geburt beginnen.“ 1
Die Frage, ob die Fibonaccischen Fortpflanzungskonstruktion ein gutes Modell der Natur ist,
wollen wir hier nicht diskutieren. Um unsere Ideen zu fixieren, nehmen wir noch an, dass
das Urpaar unmittelbar nach seiner Geburt in das Gehege eingesperrt worden sei. Wir finden
also von Monat zu Monat die folgenden Anzahlen von Kaninchenpaaren im Gehege: 1 (das
Urpaar), 1 (immer noch das Urpaar), 2 (das Urpaar und das erste Nachwuchspaar), 3 (das
Urpaar, das erste und zweite Nachwuchspaar des Urpaars), 5 (die drei Paare von vorhin und
der Nachwuchs des Urpaars und des ersten Nachwuchspaares), 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....
Also lautet die Antwort auf Fibonaccis Frage: 144 Kaninchenpaare
Diese so genannten Fibonaccizahlen a 1 ,a 2 ,a 3 ,... werden offenbar durch die nachstehende
Rekursionsvorschrift gegeben
a 1 = a 2 = 1 und a n+2 = a n+1 +a n für n ∈ N.
Glanz und Ruhm der Fibonaccizahlen entstammen weniger ihrer eher dubiosen Rolle in der
Kaninchenvermehrung,als vielmehrderTatsache, dassnach undnach eineschier unglaubliche
Fülle interessanter Resultate über sie entdeckt worden ist. Seit 1963 gibt es denn auch eine
mathematische Zeitschrift, The Fibonacci Quarterly, die sich diesen faszinierenden Zahlen
verschrieben hat.
Überraschenderweise tauchen die Fibonaccizahlen auch in vielen Naturwissenschaften (aus
denen sie ja via Kaninchenaufgabe ursprünglich stammen) auf: Die Blätter oder Früchte
von Pflanzen bilden oft Spiralmuster. Die Anzahl der Spiralen sind meist Fibonaccizahlen.
Ein Föhrenzapfen (vgl. Abbildung A.2.i) hat zum Beispiel in der einen Richtung 8, in der
anderen5Spiralen.DasgleichePhänomenkannauchbeiSonnenblumenoderAnanasfrüchten 2
festgestellt werden.
A.2.2 Folge von Collatz
DerMathematiker LotharCollatz(1910-1990) hateineAufgabegestellt, diedieMathematiker
sehr beschäftigt und bis heute ungelöst ist (vgl. [2], Seite 55 und 56). Das Problem selbst
klingt eigentlich harmlos: Starten Sie mit einer natürlichen Zahl a 1 und bilden Sie aus ihr auf
1 Todesfälle mögen jedoch nicht eintreten.
2 Für Mathematiker ist dies ein beliebtes Thema, um an Parties die Gäste zu beeindrucken (langweilen?).