Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

9.1. Hyperbelfunktionen 179
Dabei wird angenommen, dass der Luftwiderstand F L proportional dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit
v ist, c ist der Proportionalitätsfaktor, d.h. F L = cv 2 . Berechnen Sie die
Geschwindigkeit v in Funktion der Zeit t.
Aufgabe 9.1.3. Beweisen Sie Satz 9.1.1.2.
Aufgabe 9.1.4. Beweisen Sie Satz 9.1.1.3.
Aufgabe 9.1.5. Beweisen Sie die folgenden Beziehungen zwischen den Summen und Differenzen
von Hyperbelfunktionen.
a. cosh(u)+cosh(v) = 2cosh ( u+v
2
b. sinh(u)+sinh(v) = 2sinh ( u+v
2
c. cosh(u)−cosh(v) = 2sinh ( u+v
2
d. sinh(u)−sinh(v) = 2cosh ( u+v
2
) (
cosh
u−v
)
2
) (
cosh
u−v
)
2
) (
sinh
u−v
)
2
) (
sinh
u−v
)
2
Aufgabe 9.1.6. Beweisen Sie die Formel von Moivre für Hyperbelfunktionen
(cosh(u)±sinh(u)) n = cosh(nu)±sinh(nu),
wobei n ∈ N 0 .
Aufgabe 9.1.7. Wo schneiden Tangente und Normale an der Stelle x 1 ∈ R der Bildkurve
von
die x-Achse? Fertigen Sie eine Zeichnung an.
f(x) = sinh(x) bzw. g(x) = cosh(x)
Aufgabe 9.1.8. An der Stelle x 1 ∈ R werden Tangenten und Normalen an die Bildkurven
von
f(x) = sinh(x) bzw. g(x) = cosh(x)
gezogen. Bestimmen Sie die Abszisse des Schnittpunktes der Tangenten bzw. Normalen. Fertigen
Sie eine Zeichnung an.
Aufgabe 9.1.9. An der Stelle x 1 ∈ R werden Tangenten und Normalen an die Bildkurven
von
f(x) = tanh(x) bzw. g(x) = coth(x)
gezogen. Bestimmen Sie die Abszisse des Schnittpunktes der Tangenten bzw. Normalen. Fertigen
Sie eine Zeichnung an.
Aufgabe 9.1.10 (Fakultativ). Berechnen Sie die graue Fläche in Abbildung 9.1.v.