Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

3.3. Grenzwerte von Funktionen 43
gegeben. Falls für eine dritte Folge (c n ) n∈N gilt
a n ≤ c n ≤ b n für alle n ∈ N,
dann folgt
lim c n = l.
n→∞
Beispiel 3.3.4. Jetzt wenden wir den Satz 3.3.2 an, um den Grenzwert
sin(x)
lim
x→0 x
zu berechnen. Es sei x ∈ ] 0, π 2[
gegeben. Auf der Abbildung 3.3.iv sehen wir, dass der
y
D
•
C
•
1
sin(x)
tan(x)
x
• •
0 cos(x) A B
x
Abbildung 3.3.iv: Der Einheitskreis
Flächeninhalt des Kreissegments OBD gleichzeitig grösser als der des Dreiecks OAD und
kleiner als der des Dreiecks OBC ist:
sin(x)cos(x)
2
OAD ≤ OBD ≤ OBC
≤ x
2π π ≤ tan(x)
2
cos(x) ≤ x
sin(x) ≤ 1
cos(x)
Somit gilt für jede beliebig von oben gegen 0 strebende Folge (h n ) n∈N die Ungleichung
cos(h n ) ≤ h n
sin(h n ) ≤ 1
cos(h n )
für alle n ∈ N.
1
Da die beiden Zahlenfolgen (cos(h n )) n∈N und (
cos(h ) n) n∈N gegen 1 streben, folgt es aus dem
Satz 3.3.2, dass
lim
n→∞
h n
sin(h n ) = 1.
Das entsprechende Ergebnis für den linksseitigen Grenzwert erhalten wir nun sofort:
lim
n→∞
Damit haben wir gezeigt, dass
−h n
sin(−h n ) = lim
n→∞
−h n
−sin(h n ) = lim
n→∞
sin(x)
lim = 1.
x→0 x
h n
sin(h n ) = 1.