Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

378 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
2. Differenzialgleichung der Form y ′′ = f(x,y ′ )
Hier tritt y nicht auf. Durch die Substitution u = y ′ entsteht nun die Differenzialgleichung
erster Ordnung u ′ = f(x,u).
Beispiel 21.11.2. Wir suchen die Lösung der Differenzialgleichung
y ′′ −2y ′ = cos(x).
Also substituieren wir u = y ′ und erhalten die inhomogene Differenzialgleichung erster Ordnung
u ′ −2u = cos(x),
die u h (x) = C 1 e 2x , wobei C 1 ∈ R beliebig, zur Lösung der homogenen Differenzialgleichung
hat. Nun machen wir den Ansatz
u p (x) = Asin(x)+Bcos(x),
also u ′ p (x) = Acos(x)−Bsin(x)
zur Auffindung der Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung. Eingesetzt in die substituierte
Differenzialgleichung erfolgt
dann erfolgt ein Koeffizientenvergleich.
Acos(x)−Bsin(x)−2Asin(x)−2Bcos(x) = cos(x),
Der Koeffizientenvergleich von sin(x) ergibt −2A− B = 0.
Der Koeffizientenvergleich von cos(x) ergibt A−2B = 1.
Die Lösung berechnet sich zu A = 1 5 und B = −2 5
. Damit ist die allgemeine Lösung der
substituierten Differenzialgleichung
u(x) = u h (x)+u p (x) = C 1 e 2x + 1 5 sin(x)− 2 5 cos(x).
Durch Integration erfolgt die allgemeine Lösung der ursprünglichen Differenzialgleichung
∫
y(x) = u(x)dx = C 1
2 e2x − 1 5 cos(x)− 2 5 sin(x)+C 2,
wobei C 1 und C 2 ∈ R Konstanten sind, die durch allfällige Nebenbedingungen bestimmt
werden können.
3. Differenzialgleichung der Form y ′′ = f(x,y,y ′ )
Da alle Ableitungen vorkommen, brauchen wir eine neue Methode (vgl. Kapitel 21.12 und
folgende).
Aufgaben
Aufgabe 21.11.1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von
y ′′ +2y ′ = e x .