Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

62 Kapitel 4. Differenzialrechnung
Lösung 4.2.10.
a.
b.
(n+2)(n+1)
2
(n+k)(n+k−1)···(n+1)
k!
c.
d. 1
(n+k)(n+k−1)···(n+1)n
(k +1)!
Lösung 4.2.11.
a. ( n
)
k+1
b. ( n−1)
k−1
Lösung 4.2.12. n−2k−1
k+1
( n
k)
c. ( )
n+1
k
Lösung 4.2.13.
a. 5005 b. −42 2 9
Lösung 4.2.14. Die Summe der Terme in der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks ist 2 n .
Die alternierende Summe der Terme in der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks ist 0.
Lösung 4.2.15. • Verankerung. Wenn n = 1, lautet die zu beweisende Aussage 1 =
1(1+1)
2
, was offensichtlich der Fall ist.
• Induktionshypothese. Wir nehmen an, die Aussage sei für ein gewisses n ∈ N gültig.
• Vererbung. Wir müssen zeigen, dass die Aussage auch für n+1 gilt, d.h.
1+2+3+···+n+(n+1) = (n+1)(n+2) .
2
Nach der Induktionshypothese ist die linke Seite
n(n+1)
2
+(n+1) = n(n+1)+2(n+1)
2
Damit ist der Beweis für n+1 abgeschlossen.
= (n+1)(n+2) .
2
Lösung 4.2.16. • Verankerung. Wenn n = 2, lautet die zu beweisende Aussage ( 2
2)
=
)
. Da beide Seiten gleich 1 sind, gilt die Aussage für n = 2.
( 3
3
• Induktionshypothese. Wir nehmen an, die Aussage sei für ein gewisses n ∈ {2,3,...}
gültig.
• Vererbung. Um zu zeigen, dass die Aussage auch für n+1 gültig ist, wenden wir die
Induktionshypothese an:
( ( ( ( ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 n n+1 n+1 n+1 n+2
+ + +···+ + = + = .
2)
2)
2)
2)
2 3 2 3
Lösung 4.2.17. Es sei p ∈ N gegeben.