Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

16.1. Notwendige und hinreichende Bedingung 297
Abbildung 16.1.ii: Tangentialebene in einem Sattelpunkt. Beachten Sie die hyperbelförmigen
Höhenlinien.
Bei Funktionen von mehreren unabhängigen Variablen x 1 ,...,x n lautet die notwendige Bedingung
für eine Extremstelle von f im Punkt P(x 1 ,...,x n ):
f x1 (x 1 ,...,x n ) = ··· = f xn (x 1 ,...,x n ) = 0
Eine hinreichende Bedingung geben wir nicht an.
Beispiel 16.1.1. Gesucht sind die Extremstellen der Funktion
f(x,y) = x 2 +xy+y 2 −2x−2y +1.
Die ersten partiellen Ableitungen sind f x (x,y) = 2x + y − 2 und f y (x,y) = 2y + x − 2. Da
die Gleichungen linear sind, kann aus Symmetriegründen der Funktion f geschlossen werden,
dass x = y. Also folgt 3x−2 = 0 und somit x = y = 2 3 . Handelt es sich beim Punkt P(2 3 , 2 3 )
um eine Extremstelle oder um einen Sattelpunkt? Die zweiten partiellen Ableitungen sind
f xx (x,y) = 2, f yy (x,y) = 2 und f xy (x,y) = 1. Also folgt
f xx ( 2 3 , 2 3 )·f yy( 2 3 , 2 3 )−f2 xy( 2 3 , 2 3 ) = 2·2−12 = 3 > 0,
damit handelt es sich um einen Extremwert. Da f xx ( 2 3 , 2 3
) = 2 > 0 sogar um ein Minimum.
Beispiel 16.1.2. Gegeben seien n Punkte P 1 (x 1 ,y 1 ),...,P n (x n ,y n ). Gesucht wird der Punkt
P(x,y) mit minimaler Abstandsquadratsumme von P 1 ,...,P n
n∑
S = d 2 i = d 2 1 +···+d 2 n.
Die Koordinaten x und y des Punktes P sind so zu wählen, dass
n∑ (
S(x,y) = (x−xi ) 2 +(y −y i ) 2)
i=1
i=1