Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.11. Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 377
Lösungen
Im Folgenden bezeichnet c ∈ R eine Konstante.
Lösung 21.10.11. Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung y h (x) = ce −x steht in
Resonanz mit der Störfunktion s 3 (x) = 2xe −x . Die allgemeine Lösung ist y(x) = x 2 −2x +
xsin(3x)+(x 2 +c)e −x .
Lösung 21.10.12. Achtung Resonanz, also y(x) = xcos(3x)−xsin(3x)+(x+c)e −3x .
Lösung 21.10.13. y(x) = cos(2x)+2xsin(2x)+x 3 +ce 2x .
Lösung 21.10.14. Achtung Resonanz, also
y(x) = ( − 3 5 x2 + 18 66
25x+ 125
− 1 2 xsin(x)−( 1
2 x+ 1 2
)
cos(2x)+
( 6
5 x2 + 24
12
25x− 125)
sin(2x)
)
cos(x)−x+
(
−
1
3 x3 +c ) e x .
21.11 Auf Differenzialgleichungen erster Ordnung zurückführbare
Differenzialgleichungen zweiter Ordnung
Differenzialgleichungen zweiter Ordnung haben die allgemeine Form
F(x,y,y ′ ,y ′′ ) = 0.
Lässt sich diese Gleichung nach y ′′ auflösen, so sprechen wir von der expliziten Form
y ′′ = f(x,y,y ′ ).
Je nachdem, wie die Funktion f aussieht, lässt sich diese Differenzialgleichung auf eine Differenzialgleichung
erster Ordnung zurückführen.
1. Differenzialgleichung der Form y ′′ = f(x)
Da y und y ′ nicht auftreten, lässt sich eine solche Differenzialgleichung durch zweimaliges
Integrieren lösen.
Beispiel 21.11.1. Wir suchen die Lösung der Differenzialgleichung
y ′′ = x+sin(x).
Die erste Integration ergibt
und die zweite Integration ergibt
y ′ (x) = x2
2 −cos(x)+C 1
y(x) = x3
6 −sin(x)+C 1x+C 2 ,
wobei C 1 und C 2 ∈ R Konstanten sind, die durch allfällige Nebenbedingungen bestimmt
werden können.