Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

340 Kapitel 20. Arbeit und Linienintegrale
Aufgaben
Aufgabe 20.2.1. Berechnen Sie für das Kraftfeld
⎛
x 2 ⎞
⎛
⃗F(x,y,z) = ⎝ y 2 ⎠ die Feldarbeit längs der Kurve ⃗r(t) = ⎝
z 2
von A( √ 3,0,0) bis B(0,0,−1).
Aufgabe 20.2.2. Deuten Sie den Verlauf der Raumkurve
⎛
sin 2 ⎞
(t)
⃗r(t) = ⎝ cos 2 (t) ⎠
t 2 − π 2 t
√
3sin(t)
0
cos(t)
⎞
⎠
und berechnen Sie das Linienintegral im Intervall 0 ≤ t ≤ π 2
⎛ ⎞
x
⃗F(x,y,z) = ⎝ xy ⎠.
z
im Felde
Aufgabe 20.2.3. Berechnen Sie für das Kraftfeld
⎛ ⎞
⎛
0
⃗F(x,y,z) = ⎝ −z ⎠ die Arbeit längs der Kurve ⃗r(t) = ⎝
y
im Intervall 0 ≤ t ≤ π 2
und deuten Sie den Verlauf.
√
2cos(t)
cos(2t)
2t
π
⎞
⎠
Aufgabe 20.2.4. Berechnen Sie die Arbeit des Kraftfeldes
⎛ ⎞
⎛
x+y
⃗F(x,y,z) = ⎝ z ⎠ längs der Kurve ⃗r(t) = ⎝
x
im Intervall 0 ≤ t ≤ π 2 .
Aufgabe 20.2.5. Berechnen Sie die Arbeit des Kraftfeldes
⎛ ⎞
⎛
x+y
⃗F(x,y,z) = ⎝ x ⎠ längs der Kurve ⃗r(t) = ⎝
xz
im Intervall 0 ≤ t ≤ π 2 .
Aufgabe 20.2.6 (Wegunabhängigkeit). Gegeben sei das Kraftfeld
( ) xy
2
⃗F(x,y) =
x 2 .
y
sin(t)
cos 2 (t)
t
sin(t)
sin 2 (t)
t 2
Berechnen sie das Linienintegral ∫ P
0 ⃗ F ·d⃗r zwischen dem Nullpunkt und dem Punkte P(1,1)
längs den folgenden Wegen (vgl. Abbildung 20.2.ii)
⎞
⎠
⎞
⎠