Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

74 Kapitel 4. Differenzialrechnung
und
(cot(x)) ′ =
( ) cos(x) ′
= −sin2 (x)−cos 2 (x)
sin(x) sin 2 = −1
(x) sin 2 (x) = −(1+cot2 (x)).
Die obige Ergebnisse fassen wir in folgender Tabelle zusammen.
(sin(x)) ′ = cos(x)
(cos(x)) ′ = −sin(x)
(tan(x)) ′ =
1
cos 2 (x) = 1+tan2 (x)
(cot(x)) ′ = − 1
sin 2 (x) = −(1+cot2 (x))
Beispiel 4.7.1. Um die Funktion f(x) = 2x 4 cos(x) zu differenzieren, wenden wir die Produktregel
an: Wir setzen u(x) = 2x 4 und v(x) = cos(x) und berechnen deren Ableitungen
u ′ (x) = 8x 3 und v ′ (x) = −sin(x). Somit gilt
f ′ (x) = u ′ (x)v(x)+u(x)v ′ (x) = 8x 3 cos(x)−2x 4 sin(x).
Beispiel 4.7.2. Wir möchten die Funktion f(x) = sin(2x) ableiten. Mit dem Additionstheorem
für den Sinus können wir sie als f(x) = 2sin(x)cos(x) umschreiben, was uns erlaubt die
Produktregel wie folgt anzuwenden:
f ′ (x) = 2 ( (sin(x)) ′ cos(x)+sin(x)(cos(x)) ′) = 2(cos 2 (x)−sin 2 (x)) = 2cos(2x).
Die letzte Gleichheit folgt aus dem Additionstheorem für den Kosinus.
Aufgaben
Aufgabe 4.7.1. Leiten Sie folgende Funktionen ab.
a. f(x) = sin 2 (x)
b. f(t) = 3sin(t)+tcos(t)
c. f(α) = 2sin(α)(α−cot(α))
d. f(x) = (x−tan(x))sin(x)cos(x)
e. f(x) = 1−cos(x)
1+sin(x)
f. f(t) = sin(t)
t
g. f(x) = −cos(x)
2xtan(x)
h. f(x) = 2x 3 tan(x)
i. f(t) = t(sin(t)−cos(t))
j. f(α) = sin(α)−αcos(α)
Aufgabe 4.7.2. Leiten Sie folgende Funktionen ab und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit
wie möglich.
a. f(x) = cos(2x)+sin 2 (x)
b. f(x) = x−sin(x)cos(x)
c. f(x) = 1
cos(x) +tan(x)