Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.6. Ableitung eines Quotienten 69
Lösungen
Lösung 4.5.1. a. f ′ (x) = (−1−2x)(x 3 +2x)+(1−x−x 2 )(3x 2 +2)
b. g ′ (u) = 3u 2 (u 2 −2u+1)+(u 3 −2)(2u−2)
c. f ′ (x) = (8x−3)(2−x 3 )x 3 −3x 5 (4x 2 −3x)+3x 2 (4x 2 −3x)(2−x 3 )
d. f ′ (x) = −(b−x 2 )−2x(a−x)
e. f ′ (u) = 2(nu n−1 −(n−2)u n−3 )(u n −u n−2 +1)
f. f ′ (x) = (x 2 +b)(x 3 +c)+2x(a+x)(x 3 +c)+3x 2 (a+x)(x 2 +b)
g. f ′ (x) = (2x−a)(x 2 +ax−b 2 )+(x 2 −ax+b 2 )(2x+a)
h. f ′ (z) = 2(bc−ad)
i. f ′ (t) = 4(t−1) 3
j. f ′ (x) = 4a 2 x(a 2 x 2 −b 2 )
k. f ′ (x) = an(ax+b) n−1
Lösung 4.5.2.
a. g ′ (x) = nx n−1 f(x)+x n f ′ (x) b. h ′ (x) = 3(f(x)) 2 f ′ (x)
4.6 Ableitung eines Quotienten
In ähnlicher Weise wie ein Produkt lässt sich ein Quotient differenzieren. Wir setzen
f(x) = u(x)
v(x)
für alle x mit v(x) ≠ 0,
wobei u und v differenzierbare Funktionen sind. Wie üblich berechnen wir zuerst den Differenzenquotienten
∆y
∆x = f(x+∆x)−f(x) = 1 ( u(x+∆x)
∆x ∆x v(x+∆x) − u(x) )
v(x)
= 1 ( )
u(x+∆x)v(x)−u(x)v(x+∆x)
∆x v(x+∆x)v(x)
( )
1 u(x+∆x)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−u(x)v(x+∆x)
=
v(x+∆x)v(x)
∆x
(
1 u(x+∆x)−u(x)
=
v(x)−u(x) v(x+∆x)−v(x) )
v(x+∆x)v(x) ∆x
∆x
und dann den Grenzübergang
(
f ′ (x) = lim
∆x→0
1
v(x+∆x)v(x)
= u′ (x)v(x)−u(x)v ′ (x)
(v(x)) 2 .
( u(x+∆x)−u(x)
∆x
v(x)−u(x) v(x+∆x)−v(x) ))
∆x