Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

360 Kapitel 21. Differenzialgleichungen
Aufgaben
Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Differenzialgleichungen:
Aufgabe 21.6.1. y ′ −2xy = 0
Aufgabe 21.6.2. sin(2x)y ′ −2y = 0
Aufgabe 21.6.3. y ′ −tanh(x)y = 0
Aufgabe 21.6.4. y ′ +y 2 = 1
Aufgabe 21.6.5. y ′ +cos(x)y = cos(x)
Aufgabe 21.6.6. 2yy ′ − √ y 2 +3 = 0
Aufgabe 21.6.7. y ′ −cos(x)y = 0 mit y( π 2 ) = e
Aufgabe 21.6.8. sin(x)y ′ +2cos(x)y = 0 mit y( π 4 ) = 2
Aufgabe 21.6.9. y ′ −y 2 = 1 mit y(0) = 1
Aufgabe 21.6.10. x 2 y ′ = y 2 mit y(5) = −10
Lösungen
Im Folgenden bezeichnen C und D ∈ R Konstanten.
Lösung 21.6.1. y(x) = Ce x2
Lösung 21.6.2. Benutzen Sie ∫ dx
sin(x) = ln(∣ ∣ tan
( x
2)∣ ∣
)
+D. Also folgt y(x) = Ctan(x).
Lösung 21.6.3. y(x) = Ccosh(x)
Lösung 21.6.4. Für |y| > 1 ist y(x) = coth(x+C) und für |y| < 1 ist y(x) = tanh(x+C).
Lösung 21.6.5. y(x) = 1−Ce −sin(x)
Lösung 21.6.6. Implizite allgemeine Lösung y 2 = 1 4 (x+C)2 −3
Lösung 21.6.7. y p (x) = e sin(x)
Lösung 21.6.8. y p (x) = 1
sin 2 (x)
Lösung 21.6.9. y p (x) = tan(x+ π 4 )
Lösung 21.6.10. y p (x) = x
1−0.3x
Beispiel 21.6.4 (Ideale Raketenbewegung). Wir betrachten eine ruhende Rakete im Weltraum,
die keinen Kräften ausgesetzt ist. Die Gesamtmasse der Rakete ist M = 13000kg,
davon hat der Brennstoffanteil eine Masse von m B = 9000kg. Welche Geschwindigkeit v ergibt
sich für die Rakete bei Brennschluss? Die Ausströmgeschwindigkeit v A der heissen Gase
während der Brenndauer wird mit v A = 2000ms −1 als konstant angenommen.
Es bezeichne m ∈ [0,m B ] die Masse des zur Zeit t verbrannten Brennstoffs und ∆m die