Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

410 Kapitel 22. Differenzialgleichungen in der Mechanik
22.4 Die erzwungene Schwingung
Das schwingfähige System aus Kapitel 22.3 wird nun zusätzlich durch eine kosinusförmige
Störkraft
F Störkraft (t) = p 0 mcos(ω 1 t)
gestört. Dabei bezeichnen p 0 m ≥ 0 die maximale Kraft und ω 1 ≥ 0 die Kreisfrequenz der
Störung.Die normiertelineareinhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnunglautet dann
Feder κ 2
Dämpfung r Masse m Feder κ 2
Führung
Antrieb
•
ω 1
•
•
•
•
0
Abbildung 22.4.i: Ein schwingfähiges System mit Dämpfung und Antrieb.
s
¨s+2ρṡ+ω 2 0s = p 0 cos(ω 1 t) mit ρ = r
2m und ω2 0 = κ m .
Es bedeuten m die Masse, r die Dämpfungskonstante und κ die Federkonstante.
Die homogene Differenzialgleichung zweiter Ordnunghaben wir in Kapitel 22.3 bereits gelöst.
Wir erhielten mit der Fallunterscheidung des Dämpfungsgrades D = ρ ω 0
die allgemeinen
homogenen Lösungen:
1. Wenn D = 0, dann s h (t) = Rsin(ω 0 t+ϕ).
2. Wenn 0 < D < 1, dann s h (t) = Re −ρt sin(ωt+ϕ) mit ω = ω 0
√
1−D 2 .
3. Wenn D = 1, dann s h (t) = (C 1 t+C 2 )e −ρt .
4. Wenn D > 1, dann s h (t) = e −ρt( C 1 e wt +C 2 e −wt) mit w = ω 0
√
D 2 −1.
Der Ansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung zweiter Ordnung
lautet der Theorie entsprechend 5
also
s 1 (t) = Asin(ω 1 t)+Bcos(ω 1 t),
ṡ 1 (t) = ω 1 Acos(ω 1 t)−ω 1 Bsin(ω 1 t),
¨s 1 (t) = −ω 2 1Asin(ω 1 t)−ω 2 1Bcos(ω 1 t).
5 Die Eigenfunktion s h kann nur im Fall D = 0 vom gleichen Typ sein wie die Störfunktion. Somit müssen
wir den Ansatz im Fall D = 0, wenn ω 1 = ω 0 ist, wie folgt modifizieren
s 1(t) = (A 1t+A 0)sin(ω 1t)+(B 1t+B 0)cos(ω 1t)
(Resonanzfall). Diesen Ansatz werden wir nicht explizit durchrechnen (vgl. Diskussion der Amplitude im
stationären Zustand für Schwingungen).