Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

300 Kapitel 16. Extremstellen bei mehreren unabhängigen Variablen
welches mit der Cramerschen Regel (vgl. Fussnote 6 in Kapitel 22.4 oder [21] Seiten 86ff) die
Lösung ⎛ ⎞
n∑ n∑
x i y i x i
det
i=1 i=1
⎜ n∑ ⎟
⎝
n
⎠
n∑ n∑ n∑
n x i y i − x i
und
b =
a =
det
⎜
⎝
⎛
det
⎜
⎝
⎛
⎛
det
⎜
⎝
n∑
i=1
n∑
i=1
n∑
i=1
n∑
i=1
i=1
n∑
i=1
n∑
i=1
x 2 i
x i
x 2 i
x i
y i
x 2 i
x i
n∑
i=1
n
x i
⎞
n∑
x i y i
n∑ ⎟
y
⎠ i
i=1
i=1
n∑
i=1
n
x i
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
=
=
n∑
i=1
i=1
n
x 2 i
n
n∑
i=1
i=1
x 2 i − ( n∑
i=1
n∑
y i −
i=1
n∑
i=1
x i
) 2
y i
n∑ n∑
x i x i y i
i=1
i=1
x 2 i − ( n∑
i=1
i=1
x i
) 2
ergibt. Der Koeffizient a heisst Regressionskoeffizient und b die Regressionskonstante.
Aus der Gleichung (16.2.b) entnehmen wir, dass der Schwerpunkt
( )
1
n∑
P(¯x,ȳ) = P x i , 1 n∑
y i
n n
der Punktewolke auf der Geraden y = ax+b liegt.
Die Frage stellt sich nun wiederum, ob es sich bei der gefundenen Lösung um ein Extremum
oder einen Sattelpunkt handelt. Um dies abzuklären, berechnen wir die zweiten partiellen
Ableitungen der Funktion S
n∑
S aa (a,b) = 2
und betrachten
i=1
i=1
i=1
S bb (a,b) = 2n
n∑
S ab (a,b) = S ba (a,b) = 2
S aa (a,b)·S bb (a,b)−S ab (a,b) 2 = 4n
Wir benutzen die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
|〈⃗u,⃗v〉| ≤ |⃗u|·|⃗v|,
i=1
n∑
x 2 i
x i
i=1
x 2 i −4 ( n∑
i=i
x i
) 2
.