Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

98 Kapitel 4. Differenzialrechnung
Aufgabe 4.14.2. Bilden Sie die vierte Ableitung der folgenden Funktionen, wobei die Funktionen
u und v 4-mal differenzierbar sind.
a. f(x) = sin(x)
c. f(x) = ln(x)
b. f(x) = cos(x)
d. f(x) = u(x)v(x)
Aufgabe 4.14.3. Bestimmen Sie die n-te Ableitung der folgenden Funktionen.
a. f(x) = ln(x)
c. f(x) = x
b. f(w) = 1+w
1−x
1−w
d. f(x) = 2 x
Aufgabe 4.14.4. Es seien a eine positive reelle Zahl und t die Tangente an die Kurve 10
x 3 −ay 2 = 0 im Punkt P 0 (x 0 ,y 0 ). Bestimmen Sie den Schnittpunkt von t mit der Kurve.
Aufgabe 4.14.5. Welche Polynomfunktion 3-ten Grades f erfüllt die folgenden Bedingungen?
a. f(−1) = 0, f ′ (1) = 7, f ′ (2) = 34 und f ′′ (−1) = −18
b. f(1) = −4, f ′ (−1) = 10, f ′′ (1) = 8 und f ′′ (−1) = −16
Lösungen
Lösung 4.14.1.
a. f ′′ (x) = −2sin(2x)
b. f ′′ (u) = −2cos(2u)
c. f ′′ (x) =
2
(1−x) 3
d. f ′′ (x) = x 2 (7+12ln(x))
Lösung 4.14.2.
a. f (4) (x) = sin(x)
b. f (4) (x) = cos(x)
e. f ′′ (x) = 4a 2x (ln 2 (a))
f. f ′′ (x) = 2e x cos(x)
g. f ′′ −1
(t) =
( √ 1−t 2 ) 3
c. f (4) (x) = − 6 x 4
d. f (4) (x) = u (4) (x)v(x)+4u (3) (x)v ′ (x)+6u ′′ (x)v ′′ (x)+4u ′ (x)v (3) (x)+u(x)v (4) (x)
Lösung 4.14.3.
a. f (n) (x) = (−1)n−1 (n−1)!
n!
c. f(x) =
x n
(1−x) n+1
b. f (n) 2n!
d. f(x) = 2
(w) =
x ln n (2)
(1−w) n+1
Lösung 4.14.4. P ( x 0
4
,− y 0
8
)
. Die Nielsche Parabel wird in Abbildung 4.14.i dargestellt.
10 Diese Kurve heisst die Nielsche Parabel.