Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

272 Kapitel 13. Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen
a. f(x,y) = 1−x 2 −y 2
b. f(x,y) = √ 1−x 2 −y 2
c. f(x,y) = √ x 2 +y 2 −1
d. f(x,y) = √ x 2 +y 2 +1
√
y
e. f(x,y) =
2
4 −x2
f. f(x,y) = ln(x 2 +y 2 )
Aufgabe 13.2.2. Machen Sie sich ein Bild vom Aussehen der Flächen, die durch die folgende
Gleichungen gegeben sind. Benutzen Sie, falls vorhanden, auch elektronische Hilfsmittel.
a. z = 1−x 2 −y 2
b. z = √ 1−x 2 −y 2
c. z = ± √ x 2 +y 2 −1
d. z = ± √ x 2 +y 2 +1
e. z 2 = y2
4 −x2
f. z = ln(x 2 +y 2 )
Lösungen
Lösung 13.2.1.
a. X f = R 2
b. X f = {x ∈ R,y ∈ R | x 2 +y 2 ≤ 1}
c. X f = {x ∈ R,y ∈ R | x 2 +y 2 ≥ 1}
d. X f = R 2
e. X f = {x ∈ R,y ∈ R | |y| ≥ 2|x|}
f. X f = R 2 −{(0,0)}
Lösung 13.2.2. Siehe Mathcad-File: Lösung 13.2.2 Flächendarstellungen.mcd
13.3 Partielle Ableitungen
Wir betrachten den Punkt P(x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 )) auf der Fläche z = f(x,y). Gesucht sind die
Steigungen der Tangenten in x- und y-Richtung im Punkt P an die Fläche. Als Sekantensteigungen
in P(x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 )) in x- und y-Richtung erhalten wir
tan(σ x ) = f(x 0 +∆x,y 0 )−f(x 0 ,y 0 )
∆x
tan(σ y ) = f(x 0,y 0 +∆y)−f(x 0 ,y 0 )
∆y
in x-Richtung,
in y-Richtung.
Daraus ergeben sich die Tangentensteigungen in x- und y-Richtung bei P(x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 )) an
die Fläche durch den Grenzübergänge ∆x → 0 und ∆y → 0. Wir erhalten die Tangentensteigungen
in x- und y-Richtung
f(x 0 +∆x,y 0 )−f(x 0 ,y 0 )
tan(α) = lim
= ∂ ∣
∆x→0 ∆x ∂x f(x,y) ∣∣∣x=x0
= f x (x 0 ,y 0 ),
y=y 0
f(x 0 ,y 0 +∆y)−f(x 0 ,y 0 )
tan(β) = lim
= ∂ ∣
∆y→0 ∆y ∂y f(x,y) ∣∣∣x=x0
= f y (x 0 ,y 0 ).
y=y 0