Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

10.2. Bogenlänge einer Kurve 191
Lösungen
Lösung 10.1.15. V Sechseckpyramide =
√
3
2 s2 h
Lösung 10.1.16. Die Formel für den Flächeninhalt der Ellipse mit den Halbachsen A und
B ist q Ellipse = πAB und somit wird das Volumen eines Ellipsoids V Ellipsoid = 4 3πabc. Zur
Kontrolle setzen wir r = a = b = c und erhalten V Kugel = 4 3 πr3 .
10.2 Bogenlänge einer Kurve
Wir berechnen die Länge der Kurve y = f(x) über dem Intervall [a,b]. Wie bei der Flächenberechnung
unterteilen wir das Intervall [a,b] in Teilintervalle und approximieren die Kurve
durchGeradenstücke. Fürdas Geradenstück von P(x,f(x)) nach P 1 (x+∆x,f(x+∆x)) erhal-
y
P b
y = f(x)
P 1
•
P a
P
•
∆s
∆x
∆y
a
x
x + ∆x
b
x
Abbildung 10.2.i: Bogenlänge einer Kurve
ten wir mit dem Satz von Pythagoras die Länge ∆s = √ ∆x 2 +∆y 2 . Beliebige Verfeinerung
der Unterteilung ergibt eine beliebig steigende Anzahl von Teilintervallen, bei denen das Geradenstück
PP 1 immer weniger von der Kurve abweicht. Wir bilden nun den Grenzübergang
∆x → 0 und erhalten
ds
dx = lim
∆x→0
= lim
∆x→0
√
∆s ∆x
∆x = lim
2 +∆y 2
∆x→0 ∆x
√
( )
√
∆y
2
1+ = 1+
∆x
( ) dy 2 √
= 1+(y
dx
′ ) 2 .
Das Differenzial
ds =
√
1+(y ′ ) 2 dx
wird Linienelement genannt. Integration über das Intervall [a,b] führt zur Bogenlänge der
Kurve y = f(x) zwischen den Punkten P a (a,f(a)) und P b (b,f(b))
arclength =
∫ b
a
ds =
∫ b
a
√
1+(y ′ ) 2 dx =
∫ b
a
√
1+(f ′ (x)) 2 dx.