Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

78 Kapitel 4. Differenzialrechnung
ImAllgemeinenwerdenLogarithmeninTabellennurzurBasis10undaufdemTaschenrechner
nurzudenBasen10undezurVerfügunggestellt. DasfolgendeErgebnisistfürdieBerechnung
von Logarithmen zu einer beliebigen Basis nützlich.
Satz 4.8.3 (Basiswechsel). Es seien a und b zwei positive reelle Zahlen mit a ≠ 1 und b ≠ 1.
Dann gilt für jedes y ∈ ]0,∞[
log a (y) = log b(y)
log b (a) .
Beweis. Wir setzen x = log a (y). Danngilt lautderDefinition desLogarithmus y = a x ,woraus
folgt
log b (y) = log b (a x ) = xlog b (a) = log a (y)log b (a).
Beispiel 4.8.2. Hier berechnen wir einige Logarithmen zu weniger gewöhnlichen Basen:
Aufgaben
log 2 (10) = log 10(10)
log 10 (2) ≈ 1
0.30103 ≈ 3.32
log 7 (5) = log 10(5)
log 10 (7) ≈ 0.69897
0.84510 ≈ 0.83.
Aufgabe 4.8.1. Warum muss 1 als Logarithmenbasis ausgeschlossen werden?
Aufgabe 4.8.2. Berechnen Sie ohne Hilfe eines Taschenrechner die folgenden Logarithmen.
a. log 2 ( 1 8 )
b. log 8 (4)
c. log √ 2 (1 2 )
d. log 81 ( 1
27 )
Aufgabe 4.8.3. Berechnen Sie mit Hilfe eines Taschenrechner folgende Logarithmen.
a. log 2 (74)
b. log 2 (65)
c. log 0.5 (13.72)
Aufgabe 4.8.4. Formen Sie nach den Logartihmengesetzen die folgenden Ausdrücke um,
wobei a ∈ ]0,∞[−{1}, b ∈ ]0,∞[−{1} und n ∈ N.
( u
3 √ )
√ )
u+v
a. log a
f. lg
(a n a n√ a
a
( a 7 −a 4 )
g. log
b. log a (u 2 )−log a (v v )+log b ( √ u)
a
b
h. log 1(e ( √ )
2 )
e
64u v
c. log 2
w
i. log a (x)−log b (x a )+log 2 (x b )
( √ )
3
d. lg 2u 2 v 5
(√
e. lg a √ )
b