Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

104 Kapitel 5. Anwendungen der Differenzialrechnung
Beispiel 5.1.1 (Der freie Fall). Das Weg-Zeit-Gesetz für einen Gegenstand im freien Fall
(ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) lautet
s(t) = h 0 −v 0 t− g 2 t2 ,
wobei h 0 die Anfangshöhe, v 0 die Anfangsgeschwindigkeit, g die Erdbeschleunigung und s(t)
die Höhe über dem Boden zur Zeit t bezeichnen. Wir möchten herausfinden, mit welcher
Geschwindigkeit der Gegenstand auf dem Boden auftrifft, wenn er von der Höhe h 0 aus der
Ruhelage, d.h. v 0 = 0, losgelassen wird.
Die Flugzeit t Ende des Gegenstandes berechnen wir, in dem wir die Gleichung s(t) = 0 nach
t auflösen. Wir erhalten
√
2h 0
t Ende =
g .
Jetzt setzen wir t = t Ende in die Geschwindigkeitsfunktion v(t) = ṡ(t) = −gt ein. Somit ist
die Endgeschwindigkeit
Aufgaben
v(t Ende ) = −gt Ende = −g
√
2h 0
g = −√ 2gh 0 .
Aufgabe 5.1.1. Ein Körper bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von v 0 = 14ms −1 . Er
wird gebremst und bewegt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetzes
s(t) = 14ms −1 t−2.25ms −2 t 2 +0.03ms −3 t 3
bis er zum Stehen kommt. Wie lang ist der Bremsweg?
Aufgabe 5.1.2. Ein Körper wird aus der Höhe h = 0 mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0
unter dem Winkel α gegen die Horizontale Ebene geworfen. Seine Bewegungskomponenten in
horizontaler und vertikaler Richtung (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) sind dann
x(t) = v 0 tcos(α) und y(t) = v 0 tsin(α)− g 2 t2 .
a. Wie gross sind die Komponenten v x und v y seiner Geschwindigkeit zur Zeit t?
b. Wie gross ist seine Bahngeschwindigkeit v zur Zeit t?
c. Wie gross ist seine Aufschlaggeschwindigkeit v Ende an der Stelle x Ende ?
Aufgabe 5.1.3. Ein Körper wird unter den in Aufgabe 5.1.2 genannten Bedingungen geworfen
und trifft auf eine Ebene auf, die, von der Abwurfstelle ausgehend, gegen die Horizontalebene
unter dem Winkel β geneigt ist. Wie gross ist seine Aufschlaggeschwindigkeit
v β ?
Aufgabe 5.1.4. Ein Körper wird aus der Höhe h unter den Bedingungen der Aufgabe 5.1.2
geworfen. Wie gross ist seine Aufschlaggeschwindigkeit v Ende ?