Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.11. Methoden zur Reihenentwicklung 261
Nun multiplizieren wir diese Identität aus und erhalten
(x 2 −2)(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +···) = x 3 +2x.
Wir wissen, das zwei Potenzreihen genau dann gleich sind, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen
4 , also führen wir eine Koeffizientenvergleich durch. Wir erhalten
−2a 0 = 0 a 0 = 0,
−2a 1 = 2 a 1 = −1,
a 0 −2a 2 = 0 a 2 = 0,
a 1 −2a 3 = 1 a 3 = −1.
Die Koeffizienten von x n für n ≥ 4 sind dann allgemein durch die rekursive Formel
a n = 1 2 a n−2
definiert. Somit hat die Reihe die Form
(
x 3 +2x
x 2 −2 = −x−x3 − 1 2 x5 − 1 ∞∑
( x
2) n
)
4 x7 +··· = −x 1+2 .
2
Die Reihe konvergiert für |x| < √ 2, da sie als geometrische Reihe ∑ ∞
n=1 qn mit q = x2
2
aufgefasst werden kann.
Aufgaben
In den folgenden Aufgaben sollten Sie jeweils möglichst wenig Ableitungen rechnen, sondern
von Vorteil den Hauptsatz über Potenzreihen 12.6.1, ein Ansatz oder eine Substitution verwenden.
Aufgabe 12.11.1. Entwickeln Sie die Funktion
f(x) = 1
1+x 2
in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0. Bestimmen Sie ferner den Konvergenzradius.
Aufgabe 12.11.2. Entwickeln Sie die Funktion
f(x) = arctan(x)
in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0. Bestimmen Sie ferner das Konvergenzintervall.
Aufgabe 12.11.3. Entwickeln Sie die Funktion
f(x) = e −x2
in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0. Bestimmen Sie ferner den Konvergenzradius.
4 Identitätssatz über Potenzreihen (vgl. [13])
n=1