Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

18.2. Lagrangemultiplikatoren 315
Wir definieren die Lagrangehilfsfunktion
F(x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,λ 1 ,λ 2 ) = d 2 (x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 )−λ 1 g 1 (x 1 ,y 1 )−λ 2 g 2 (x 2 ,y 2 )
und berechnen die ersten partiellen Ableitungen
= (x 1 −x 2 ) 2 +(y 1 −y 2 ) 2 −λ 1 (x 2 1 −y 1 +2)−λ 2 (x 2 −y 2 −3)
F x1 (x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,λ 1 ,λ 2 ) = 2(x 1 −x 2 )−2λ 1 x 1 = 0,
(18.2.a)
F x2 (x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,λ 1 ,λ 2 ) = −2(x 1 −x 2 )−λ 2 = 0, (18.2.b)
F y1 (x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,λ 1 ,λ 2 ) = 2(y 1 −y 2 )+λ 1 = 0, (18.2.c)
F y2 (x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,λ 1 ,λ 2 ) = −2(y 1 −y 2 )+λ 2 = 0, (18.2.d)
F λ1 (x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,λ 1 ,λ 2 ) = −(x 2 1 −y 1 +2) = 0,
F λ2 (x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,λ 1 ,λ 2 ) = −(x 2 −y 2 −3) = 0.
Aus den Gleichungen (18.2.a) und (18.2.c) eliminieren wir λ 1 , aus den Gleichungen (18.2.b)
und (18.2.d) eliminieren wir λ 2 und erhalten
Damit ergibt sich die Gleichung
− x 1 −x 2
= 2(y 1 −y 2 ),
x 1
(18.2.e)
x 1 −x 2 = −(y 1 −y 2 ).
(18.2.f)
x 1 −x 2
x 1
= 2(x 1 −x 2 ).
Da sich die Kurven nicht schneiden, gilt x 1 ≠ x 2 . Also folgt x 1 = 1 2 und damit y 1 = 9 4
aus der
ersten Nebenbedingung g 1 (x 1 ,y 1 ) = x 2 1 −y 1 +2 = 0. Aus den Gleichungen (18.2.f) und der
zweiten Nebenbedingung g 2 (x 2 ,y 2 ) = x 2 −y 2 −3 = 0 folgt nun
1
2 −x 2 = −( 9 4 −y 2) = −( 9 4 −x 2 +3)
und demzufolge wird x 2 = 23 8 und y 2 = − 1 8
. Der Abstand ist
d( 1 2 , 23 8 , 9 4 ,−1 8 ) ≈ 3.359.
Aus geometrischen Überlegungen handelt es sich um ein Minimum.
Aufgaben
Aufgabe 18.2.1. Bestimmen Sie die Extremstellen und Extremwerte der Funktion
f(x,y) = 3− 3 4 x−y
unterderBeachtung derNebenbedingung4x 2 +4y 2 −9 = 0undüberlegenSiesich anschaulich,
wo ein Maximum oder Minimum vorliegt.
Aufgabe 18.2.2. Berechnen Sie die Extremstellen und Extremwerte der Funktion
f(x,y) = xy
unter der Nebenbedingung x 2 + y 2 − a 2 = 0, wobei a ein reeller Parameter ist. Durch eine
Höhenliniendarstellung ist die Art der vorhandenen Extremwerte zu bestimmen.