Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

10.3. Mantelfläche von Rotationskörpern 193
d
y
y = f(x)
f(x)
c
∆s
∆M
a
x
b
x
Abbildung 10.3.i: Mantelfläche einer Rotationsfläche der Kurve y = f(x) im Intervall [a,b].
Es gilt
lim k = lim
∆x→0 ∆x→0
lim K = lim
∆x→0 ∆x→0
Damit haben wir die Ungleichung
min f(ξ) = min f(ξ) = f(x)
ξ∈[x,x+∆x] ξ∈[x,x]
max f(ξ) = max f(ξ) = f(x).
ξ∈[x,x+∆x] ξ∈[x,x]
2πf(x) ds
dx ≤ dM
dx ≤ 2πf(x)ds dx ,
womit für das Mantelflächenelement 1 bei Rotation der Kurve um die x-Achse folgt
Also haben wir
dM = 2πf(x)ds = 2πf(x) √ 1+(f ′ (x)) 2 dx.
M x = 2π
∫ b
a
f(x) √ 1+(f ′ (x)) 2 dx
und entsprechendes gilt bei einer Rotation um die y-Achse
M y = 2π
∫ d
c
ϕ(y) √ 1+(ϕ ′ (y)) 2 dy
wobei ϕ(y) = f −1 (y) = x und c = f(a) und d = f(b).
Beispiel 10.3.1. Wir berechnen den Flächeninhalt einer Kugelzone der Höhe h, die bei der
Rotation der Kurve mit der Gleichung y = √ r 2 −x 2 um die x-Achse im Intervall [x 0 ,x 0 +h]
1 Dieses Resultat hätten wir auch aus der Formel für die Mantelfläche M = πs(R+r) eines Kegelstumpfes
mit den Radien R und r und der Länge s des erzeugenden Segments herleiten können.